Punktprobe: Punkt in Ebene?

Um zu überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, nutzt man die Punktprobe.

P - Parametergleichung
N - Normalengleichung
K - Koordinatengleichung

Beispiel (Parameter­form)

$P(2|1|1)$,
$\text{E: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. $P$ einsetzen

   Der Ortsvektor (Vektor mit den Koordinaten des Punktes) von $P$ wird für $\vec{x}$ in $E$ eingesetzt.

   $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. Gleichungssystem aufstellen

   Nun stellen wir ein Gleichungssystem auf und lösen es. Jede Zeile ist eine Gleichung.
   1. $2=3+r+s$
   2. $1=r+5s$
   3. $1=2s$

   Aus III. erhält man $s=\frac12$, was in II. eingesetzt wird.

   $1=r+5\cdot\frac12\quad|-\frac52$
   $r=-\frac32$

3. Probe mit I.

   $r$ und $s$ werden in die nicht genutzte Gleichung (hier: I.) zur Probe eingesetzt.

   $2=3+r+s$
   $2=3-\frac32+\frac12$
   $2=2$

   Da es keinen Widerspruch gibt und es sich um eine wahre Aussage handelt, liegt der Punkt in der Ebene.

Beispiel (Normalen­form)

$P(2|1|-1)$,
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

1. $P$ einsetzen

   Der Ortsvektor (Vektor mit den Koordinaten des Punktes) von $P$ wird für $\vec{x}$ in $E$ eingesetzt.

   $\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=0$

2. Gleichung lösen

   Die Gleichung kann erst vereinfacht werden.

   $\begin{pmatrix} 2-2 \\ 1-1 \\ -1-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

   $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

   Nun wendet man das Skalarprodukt auf der linken Seite der Gleichung an.

   $0\cdot2+0\cdot(-2)+(-2)\cdot4$ $=0$

   $-8\neq0$

   => Widerspruch, Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel (Koordinaten­form)

$P(2|1|1)$,
$\text{E: } 2x-2y+4z=6$

1. Koordinaten von $P$ einsetzen

   Die einzelnen Koordinaten von $P$ werden für x, y und z eingesetzt.

   $2\cdot2-2\cdot1+4\cdot1=6$

2. Gleichung lösen

   Die Gleichung kann sehr einfach gelöst werden.

   $2\cdot2-2\cdot1+4\cdot1=6$
   $6=6$

   => wahre Aussage, der Punkt liegt in der Ebene