Mathe Vektorrechnung Skalarpodukt

Skalarprodukt

Das Produkt zwischen zwei Vektoren bezeichnet man als Skalarprodukt. Das Ergebnis ist kein Vektor sondern eine Zahl (Skalar).

$\vec{a}\cdot\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ $=a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Geometrische Bedeutung:

$\vec{a}\cdot\vec{b}$ $=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \cdot\cos(\gamma)$

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Merke

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind genau dann orthogonal, wenn deren Skalarprodukt null ergibt:
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

Beispiel

$\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\4\end{pmatrix}$ $=2\cdot(-2)+1\cdot3+1\cdot4$ $=-4+3+4=3$

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Merke

Es gelten folgende Rechenregeln für das Skalarprodukt:
  • Kommutativgesetz
    $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$

  • Distributivgesetz
    $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$

  • $r\cdot(\vec{a}\cdot\vec{b})=(r\cdot\vec{a})\cdot\vec{b}$ für $r\in\mathbb{R}$