Mathe ↠ Vektorrechnung ↠ Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Lineare Abhängigkeit liegt vor, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Lineare Abhängigkeit

Vereinfacht bedeutet das, drei Vektoren sind linear abhängig, wenn mindestens einer der Koeffizienten nicht null ist, sodass gilt:

$r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}=\vec{0}$
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Merke

$\vec{0}$ bezeichnet man als Nullvektor. Dieser ist in der Ebene:
$\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

und im Raum:
$\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
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Vorgehensweise

  1. Einsetzen und Skalarmultiplikation
  2. Gleichungssystem aufstellen und lösen
  3. Ergebnis deuten

Lineare Unabhängigkeit

Dementsprechend sind drei Vektoren linear unabhängig, wenn alle Koeffizienten null ergeben:

$r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}=\vec{0}$
$r=s=t=0$

Beispiel

$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

  1. Einsetzen und Skalarmultiplikation

    $r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}=\vec{0}$


    $r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+$ $s\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+$ $t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$


    $\begin{pmatrix}r\\r\\r\end{pmatrix}+$ $\begin{pmatrix}0\\2s\\s\end{pmatrix}+$ $\begin{pmatrix}0\\t\\0\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

  2. Gleichungssystem aufstellen und lösen

    Jede Zeile als Gleichung aufschreiben.
    1. $r=0$
    2. $r+2s+t=0$
    3. $r+s=0$

    $r=0$ einsetzen
    1. $2s+t=0$
    2. $s=0$

    $s=0$ einsetzen
    $t=0$

  3. Ergebnis deuten

    $r=0$; $s=0$; $t=0$

    =>Die Vektoren sind linear unabhängig.