Математика ↠ Векторная алгебра ↠ Линейная зависимость и независимость

Линейная зависимость и независимость

Множество векторов линейно зависимы, если, как минимум, один из векторов может быть определен как линейная комбинация других.

Линейная зависимость

Проще говоря, три вектора линейно зависимы, если хотя бы один коэффициент не равен нулю, тогда применяется следующее:

$r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}=\vec{0}$
!

Запомни

$\vec{0}$ называется нулевым вектором. Вектор на плоскости:
$\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

и в пространстве:
$\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
i

Способ

  1. Подставьте и произведите скалярное умножение
  2. Установите систему уравнений и решите ее
  3. Объясните результат

Линейная независимость

Соответственно, 3 вектора линейно независимы, если все коэффициенты равны нулю:

$r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}=\vec{0}$
$r=s=t=0$

Пример

$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

  1. Подставим и выполним скалярное умножение

    $r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}=\vec{0}$


    $r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+$ $s\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+$ $t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$


    $\begin{pmatrix}r\\r\\r\end{pmatrix}+$ $\begin{pmatrix}0\\2s\\s\end{pmatrix}+$ $\begin{pmatrix}0\\t\\0\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

  2. Установим систему уравнений и решим ее

    Каждую строку запишем в виде уравнения.
    1. $r=0$
    2. $r+2s+t=0$
    3. $r+s=0$

    Подставим $r=0$
    1. $2s+t=0$
    2. $s=0$

    Подставим $s=0$
    $t=0$

  3. Ответ

    $r=0$; $s=0$; $t=0$

    =>Вектора линейно независимы.