Сложение и вычитание векторов

Сложение и вычитание векторов выполняется компонент за компонентом.

Информация

Вектора различных измерений (вектора на плоскости и вектора в трехмерном пространстве) нельзя складывать / вычитать.

Сложение векторов

$\vec{a}+\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix}$

В геометрической интерпретации стрелки векторов соединены друг с другом.

Запомните

Порядок сложения не имеет значения. Применяется коммутативный (переместительный) закон:
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

Также применяется ассоциативный (сочетательный) закон:
$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

Вычитание векторов

$\vec{a}-\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{pmatrix}$

Запомните

Вычитание векторов не коммутативно!
$\vec{a}-\vec{b}\neq\vec{b}-\vec{a}$

Примеры

$\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}2+1\\4+3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}1+4\\2+5\\3+6\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}5\\7\\9\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}4-1\\5-2\\6-3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$