Математика Векторная алгебра Векторное произведение

Векторное произведение

В дополнение к скалярному произведению, существует векторное произведение (или перекрестное произведение) двух векторов. В результате вы получите вектор, перпендикулярный другим векторам.

Математически, векторное произведение можно вычислить по формуле:

$\vec{a}\times\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3\\a_1\cdot b_2- a_2\cdot b_1\end{pmatrix}$
i

Информация

Величина вектора $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ равна площади поверхности параллелограмма, образованного $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$A=|\vec{c}|$ $=|\vec{a}\times\vec{b}|$
i

Подсказка

Векторное произведение зачастую является быстрой альтернативой, чтобы вычислить нормальный вектор для нормального уравнения.

Однако, эту формулу сложно запомнить, так что иногда она пропускается.

Пример

$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3\\a_1\cdot b_2- a_2\cdot b_1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1\cdot2 - 0\cdot5 \\ 0\cdot1 - 1\cdot2 \\ 1\cdot5 - 1\cdot1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$