Punkt im Dreieck oder Parallelogramm

Es lässt sich auch überprüfen, ob sich ein Punkt im Dreieck oder im Parallelogramm befindet. Dies geht jedoch nur mit der Parameterform.

Die Parametergleichung wird mithilfe der beiden Vektoren, die das Dreieck bzw. Parallelogramm aufspannen, aufgestellt.

Beim Dreieck ABC:

Und beim Parallelogramm ABCD:

Beispiel

Liegt der Punkt $P(-0,5|1|1)$ im Dreieck ABC mit $A(0|1|0)$, $B(0|0|2)$ und $C(-2|2|2)$?

1. Parametergleichung aufstellen

   Mit den 3 Punkten des Dreiecks wird eine Parametergleichung aufgestellt.

   $\text{E: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB}$ $+ s \cdot \vec{AC}$

   $\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. Punkt einsetzen

   Der Ortsvektor von $P$ wird für $\vec{x}$ in $E$ eingesetzt.

   $\begin{pmatrix} -0,5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

   Nun stellen wir ein Gleichungssystem auf und lösen es. Jede Zeile ist eine Gleichung.
   1. $-0,5=-2s$
   2. $1=1-r+s$
   3. $1=2r+2s$

   Aus I. erhält man $s=\frac14$, was in II. eingesetzt wird.

   $1=1-r+\frac14\quad|-1$
   $0=-r+\frac14\quad|+r$
   $r=\frac14$

   $r$ und $s$ werden noch in III. eingesetzt.

   $1=2\cdot\frac14+2\cdot\frac14$
   $1=1$

   => Punkt liegt in der Ebene

3. Bedingungen überprüfen

   Um herauszufinden, ob der Punkt im Dreieck liegt, müssen die Bedinungen für $r$ und $s$ überprüft werden.
   
   
   1. $0\le \frac14\le1$
   2. $0\le \frac14\le1$
   3. $0\le \frac14+\frac14 \le1$

   Alle Bedingungen gelten.
   => P liegt im Dreieck ABC.