Mathe ↠ Ebenengleichungen ↠ Parametergleichung

Parametergleichung von Ebenen

In der analytischen Geometrie spielen Ebenen eine große Rolle. Ähnlich wie bei Geraden gibt es bei Ebenen auch eine Parametergleichung, die jedoch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren besitzt.

$\text{E: } \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$
  • $\vec{x}$ ist der allgemeine Ebenenvektor
  • $\vec{a}$ ist der Stützvektor
  • $\vec{u}, \vec{v}$ sind die Richtungsvektoren
  • $r, s$ sind Parameter
!

Merke

Eine Ebene ist durch drei Punkte eindeutig definiert.

Parametergleichung aus 3 Punkten

Wenn 3 Punkte $A$, $B$, $C$ gegeben sind, lässt sich eine Parametergleichung der Ebene leicht aufstellen.

$\text{E: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}$
i

Vorgehensweise

  1. Ortsvektor eines Punktes als Stützvektor
  2. Richtungsvektoren: zwei beliebige Verbindungsvektoren der gegebenen Punkte
  3. Stütz- und Richtungsvektoren einsetzen

Beispiel

Bestimme eine Parametergleichung der Ebene $E$ durch die Punkte $A(2|1|1)$, $B(3|2|1)$ und $C(3|6|3)$.

  1. Ortsvektor

    $\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

  2. Verbindungsvektoren

    $\vec{AB}$ $=\begin{pmatrix} 3-2 \\ 2-1 \\ 1-1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

    $\vec{AC}$ $=\begin{pmatrix} 3-2 \\ 6-1 \\ 3-1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  3. Einsetzen

    $\text{E: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}$

    $\text{E: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$