Koordinatengleichung von Ebenen

Ebenen besitzen noch eine dritte Darstellungsform, nämlich die Koordinatengleichung.

$\text{E: } ax+by+cz=d$

$a, b, c, d \in \mathbb{R}$

Die Gleichungen der Koordinatenebenen $E_{xy}: z=0$, $E_{xz}: y=0$, $E_{yz}: x=0$ sind Spezialfälle der Koordinatengleichung.

Normalengleichung → Koordinatengleichung

Die Koordinatengleichung erhält man, indem die Normalengleichung mithilfe des Skalarproduktes ausmultipliziert wird.

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

$\vec{x}$ ersetzen und zusammenfassen
$\text{E: }$ $\left(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=0$
$\text{E: }$ $\begin{pmatrix} x-2 \\ y-1 \\ z-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$
Skalarprodukt

Anwenden des Skalarproduktes der beiden Vektoren auf der linken Seite der Gleichung:

$\begin{pmatrix} x-2 \\ y-1 \\ z-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

$(x-2)\cdot2 + (y-1)\cdot(-2) $ $+ (z-1)\cdot4$ $=0$

$2x-4-2y+2+4z-4$ $=0$

$2x-2y+4z-6=0 \,\, |+6$

$2x-2y+4z=6$
Koordinatengleichung
$\text{E: } 2x-2y+4z=6$

Bei der Koordinatenform $\text{E: } ax+bx+cz=d$ lässt sich immer direkt ein Normalenvektor ablesen:

$\vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$

Da ein Normalenvektor abgelesen werden kann, benötigt man nur noch einen beliebigen Punkt als Stützpunkt.

$\text{E: } 2x-2y+4z=6$

Normalenvektor

Der benötigte Normalenvektor kann an den Koeffizienten abgelesen werden.
$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$
Stützvektor: Punkt suchen

Besonders einfach ist es, einen Achsenschnittpunkt zu wählen. Dazu werden alle Koordinaten außer eine auf 0 gesetzt.

Man sieht sofort, dass $A(3|0|0)$ in der Ebene liegt:

$2\cdot3-2\cdot0+4\cdot0=6$
$6=6$
$\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Einsetzen
$\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=0$

Man sucht zuerst drei beliebige Punkte in der Ebene und stellt damit dann die Parametergleichung auf.

Hier sollte man den Umweg über die Normalengleichung gehen:

Parametergleichung → Normalengleichung → Koordinatengleichung