Декартово уравнение плоскости
Плоскости также имеют третью форму представления, а именно декартово уравнение.
$a, b, c, d \in \mathbb{R}$
Подсказка
Векторное уравнение → декартово уравнение
Декартово уравнение получается путем умножения векторного уравнения на скалярное произведение.
Например
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$
Замените $\vec{x}$ и сложите
$\text{E: }$ $\left(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=0$$\text{E: }$ $\begin{pmatrix} x-2 \\ y-1 \\ z-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$
-
Скалярное произведение
Используйте скалярное произведение двух векторов в левой части уравнения:
$\begin{pmatrix} x-2 \\ y-1 \\ z-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$
$(x-2)\cdot2 + (y-1)\cdot(-2) $ $+ (z-1)\cdot4$ $=0$
$2x-4-2y+2+4z-4$ $=0$
$2x-2y+4z-6=0 \,\, |+6$
$2x-2y+4z=6$
Декартово уравнение
$\text{E: } 2x-2y+4z=6$
Запомните
$\vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$
Декартово уравнение → нормальное уравнение
Теперь нам нужен только случайный вектор положения, потому что нормальный вектор может быть найден.
$\text{E: } 2x-2y+4z=6$
Например
-
Нормальный вектор
Необходимый нормальный вектор может быть найден из коэффициентов.
$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ Вектор положения: найдите точку
Особенно легко выбрать точку пересечения. Для этого всем координатам, кроме одной, присваивается значение 0.
Вы можете сразу же увидеть, что $A(3|0|0)$ находится в плоскости:
$2\cdot3-2\cdot0+4\cdot0=6$
$\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$6=6$Вставьте
$\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=0$
Декартово уравнение → параметрическое уравнение
Сначала вы ищете любые три точки на плоскости, а затем составляете параметрическое уравнение.
Параметрическое уравнение → декартово уравнение
Здесь вы должны сделать крюк через нормальное уравнение:
параметрическое уравнение → векторное уравнение → декартово уравнение