Математика ↠ Плоскости ↠ Параметрическое уравнение

Параметрическое уравнение плоскости

Плоскости играют важную роль в аналитической геометрии. Подобно прямым, существует параметрическое уравнение для плоскастей. Однако, существует вектор положения и два вектора направления.

$\text{E: } \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$
  • $\vec{x}$ - общий вектор плоскости
  • $\vec{a}$ - вектор положения
  • $\vec{u}, \vec{v}$ - векторы направления
  • $r, s$ параметры
!

Запомните

Плоскость определяется тремя точками.

Параметрическое уравнение с использованием 3 точек

Если даны 3 точки $A$, $B$, $C$ , то можно легко задать параметрическое уравнение плоскости.

$\text{E: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}$
i

Метод

  1. Вектор положения точки, как вектор положения плоскости
  2. Векторы направления: любые 2 соединяющих вектора, заданных точек
  3. Вставьте вектор положения и вектор направления

Например

Составьте параметрические уравнения плоскости E $E$, используя точки $A(2|1|1)$, $B(3|2|1)$ и $C(3|6|3)$.

  1. Вектор положения

    $\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

  2. Соединительный вектор

    $\vec{AB}$ $=\begin{pmatrix} 3-2 \\ 2-1 \\ 1-1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

    $\vec{AC}$ $=\begin{pmatrix} 3-2 \\ 6-1 \\ 3-1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  3. Вставьте

    $\text{E: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}$

    $\text{E: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$