Normalengleichung von Ebenen

Eine Ebene lässt sich alternativ auch durch einen Punkt und einen zur Ebene senkrechten Vektor, den Normalenvektor, festlegen.

Die Normalengleichung einer Ebene hat dann folgende Form:

• $\vec{a}$ ist der Stützvektor
• $\vec{n}$ ist der Normalenvektor

Parametergleichung → Normalengleichung

Beispiel

$\text{E: } \vec{x} = \color{green}{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}} + r \cdot \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}$ $+ s \cdot \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}}$

1. Stützvektor

   $\vec{a}=\color{green}{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}$

2. Normalenvektor

   Variante 1

   Da beide Richtungsvektoren senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ stehen, muss das Skalarprodukt jeweils null ergeben.

   1. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = 0$
   2. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}} = 0$

   Das Skalarprodukt kann nun ausgerechnet werden.

   1. $1x+1y=0$
   2. $1x+5y+2z= 0$

   II.-I.

   $4y+2z=0$

   $z$ frei wählen, z. B. $z=4$

   $4y+8=0\quad|-8$
   $4y=-8\quad|:4$
   $y=-2$

   $x$ mit I. berechnen ($y$ einsetzen)

   $x+y=0$
   $x-2=0\quad|+2$
   $x=2$

   $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

   Variante 2

   Bei Variante 2 wird stattdessen nur das Kreuzprodukt der beiden Vektoren gebildet.

   $\vec{n}$ $=\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} \times \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}}$ $=\begin{pmatrix} 1\cdot2 - 0\cdot5 \\ 0\cdot1 - 1\cdot2 \\ 1\cdot5 - 1\cdot1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

3. Einsetzen

   $\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$

   $\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

Normalengleichung → Parametergleichung

Beispiel

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

1. Stützvektor

   $\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. Richtungsvektoren

   Mit dem Normalenvektor können die beiden für die Parameterform benötigten Richtungsvektoren bestimmt werden.

   1. Richtungsvektor

   Es muss ein Vektor gefunden werden, mit dem das Skalarprodukt null ergibt.

   $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} \, \\ \, \\ \, \end{pmatrix}} = 0$

   Besonders einfach ist es, die erste Koordinate 0 zu setzen, die anderen beiden zu tauschen und ein Vorzeichen zu verändern.

   $\begin{pmatrix} 2 \\ \color{red}{-2} \\ \color{red}{4} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ \color{blue}{-4} \\ \color{blue}{-2} \end{pmatrix} = 0$

   $\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

   2. Richtungsvektor

   $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} \, \\ \, \\ \, \end{pmatrix}} = 0$

   Hier wird jetzt einfach die letzte Koordinate 0 gesetzt, die anderen beiden getauscht und ein Vorzeichen verändert.

   $\begin{pmatrix} \color{red}{2} \\ \color{red}{-2} \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \color{blue}{-2} \\ \color{blue}{-2} \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

   $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. Einsetzen

   $\text{E: } \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$

   $\text{E: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$