Lage von Ebene und Ebene

Man unterscheidet drei mögliche Lagebeziehungen zweier Ebenen $E$ und $F$.

• Sie schneiden sich.
  
• Sie sind echt parallel.
  
• Sie sind identisch.
  

Ähnlich wie bei Lagebeziehung von Ebene und Gerade versucht man die Schnittgerade zu berechnen.
Wenn man dabei jedoch auf eine wahre Aussage (z. B. $0=0$) stößt, sind die Ebenen identisch. Bei einer falschen Aussage (z. B. $8=0$) sind sie parallel.

Beispiel

$\text{E: } x-y+z=2$

$\text{F: } 2x+y+z=4$

1. Gleichungssystem aufstellen

   Die zwei Gleichungen können als Gleichungssystem angesehen werden.
   1. $x-y+z=2$
   2. $2x+y+z=4$

   Nun sollte man eine Variable wegfallen lassen. Hier erreicht man das, indem man z. B. die beiden Gleichungen addiert.

   I.+II.

   $3x+2z=6$

2. Variable mit $r$ ersetzen

   Eine der übrigen Variablen wird jetzt durch $r$ ersetzt und in die Gleichung eingesetzt. Beispielsweise x:

   $\color{red}{x=r}$

   $3r+2z=6$

   Die andere Variable ($z$) lässt sich nun in Abhängigkeit von $r$ ausdrücken. Dazu einfach nach $z$ umstellen.

   $3r+2z=6\quad|-3r$
   $2z=6-3r\quad|:2$
   $\color{red}{z=3-1,5r}$

   Mithilfe einer der beiden Ebenengleichungen lässt sich auch $y$ bestimmen, indem man $x$ und $z$ einsetzt.

   $x-y+z=2$
   $r-y+(3-1,5r)=2$
   $-0,5r-y+3=2\quad|+y$
   $-0,5r+3=2+y\quad|-2$
   $\color{red}{y=-0,5r+1}$

3. Geradengleichung aufstellen

   Zuerst schreiben wir die Ergebnisse für $x$, $y$ und $z$ untereinander.
   1. $x=r$
   2. $y=-0,5r+1$
   3. $z=3-1,5r$

   Sortiert:

   1. $x=\color{blue}{0}\color{green}{+1}r$
   2. $y=\color{blue}{1}\color{green}{-0,5}r$
   3. $z=\color{blue}{3}\color{green}{-1,5}r$

   Das kann nun ganz einfach in die Form einer Geradengleichung gebracht werden.

   $\vec{x} = \begin{pmatrix} \, \\ \, \\ \, \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \, \\ \, \\ \, \end{pmatrix}$

   $\vec{x} = \begin{pmatrix} \color{blue}{0} \\ \color{blue}{1} \\ \color{blue}{3} \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \color{green}{1} \\ \color{green}{-0,5} \\ \color{green}{-1,5} \end{pmatrix}$

Beispiel (parallel)

$\text{E: } x-y+z=2$

$\text{F: } 2x-2y+2z=7$

1. Gleichungssystem aufstellen

   1. $x-y+z=2\,\,\,|\cdot(-2)$
   2. $2x-2y+2z=7$

   Wir wenden das Additionsverfahren an.

   1. $-2x+2y-2z=-4$
   2. $2x-2y+2z=7$

   I.+II.
   $0=3$ f. A.

2. Ergebnis deuten

   Wir erhalten einen Widerspruch bzw. eine falsche Aussage.

   $0\neq3$

   $E$ und $F$ haben daher keinen gemeinsamen Punkt. Die Ebenen müsssen parallel sein.

   => $E$ und $F$ sind parallel