Mathe ↠ Lagebeziehungen von Ebenen ↠ Gerade und Ebene

Lage von Gerade und Ebene

Man unterscheidet drei mögliche Lagebeziehungen zwischen einer Geraden $g$ und einer Ebene $E$.

  • $g$ und $E$ schneiden sich
  • $g$ und $E$ sind echt parallel
  • $g$ liegt in der Ebene $E$
!

Merke

Um die Lagebeziehung herauszufinden, versucht man den Schnittpunkt zu berechnen.

  • eindeutiger Schnittpunkt: $g$ und $E$ schneiden sich
    (ein Schnittpunkt)

  • falsche Aussage (z. B. $0=5$): $g$ parallel zu $E$
    (kein Schnittpunkt)

  • wahre Aussage (z. B. $5=5$): $g$ liegt in $E$
    (unendlich Schnittpunkte)
i

Tipp

Am einfachsten ist die Lösung mit der Koordinatengleichung der Ebene.
Wenn die Ebene in der Parameterform ist, müsste man ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und Variablen lösen, was aufgrund der Umständlichkeit vermieden werden sollte.
i

Vorgehensweise

  1. Geradengleichung umschreiben
  2. $x$, $y$, $z$ in Koordinatengleichung der Ebene einsetzen und lösen
  3. Ergebnis deuten

Beispiel

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\text{E: } 2x+y+2z=-2$

  1. Geradengleichung umschreiben

    Der Vektor $\vec{x}$ in der Geradengleichung wird ersetzt durch $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

    $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

    Jede Zeile entspricht einer Gleichung

    1. $x=\color{red}{2+2r}$
    2. $y=\color{blue}{1-3r}$
    3. $z=\color{green}{1+4r}$

  2. $x$, $y$, $z$ einsetzen

    Die einzelnen Gleichungen für $x$, $y$, $z$ können in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt werden.

    $\text{E: } 2\color{red}{x}+\color{blue}{y}+2\color{green}{z}=-2$

    $2\cdot\color{red}{(2+2r)}$ $+\color{blue}{(1-3r)}$ $+2\cdot\color{green}{(1+4r)}$ $=-2$

    Nun werden die Klammern aufgelöst und die Gleichung nach $r$ umgestellt

    $4+4r+1-3r+2+8r$ $=-2$
    $7+9r=-2\quad|-7$
    $9r=-9\quad|:9$
    $r=-1$

  3. Ergebnis deuten

    Da wir ein eindeutiges $r$ rausbekommen haben, müssen sich die Ebene und die Gerade schneiden und man kann den Schnittpunkt berechnen.

    => Gerade $g$ und Ebene $E$ schneiden sich.

    Der Schnittpunkt wrid berechnet, indem man $r=-1$ in die Geradengleichung einsetzt.

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

    => Schnittpunkt $S(0|4|-3)$.