Schnittwinkel von zwei Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen berechnet sich wie der von zwei Geraden (bzw. auch wie Winkel zwischen zwei Vektoren).

Gegeben sind zwei Ebenen (am besten in Normalen- oder Koordinatenform zum Ablesen des Normalenvektors):

$E_1: (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n_1}=0$

$E_2: (\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{n_2}=0$

Zum Berechnen des Winkels nutzt man nun die beiden Normalenvektoren der Ebenen:

Beispiel

$\text{E: } 9x + 8y + 7z = 0$

$\text{F: } x+y+2z=0$

1. Normalenvektoren ablesen

   Bei der Koordinatenform lässt sich der Normalenvektor immer durch die Faktoren vor x,y und z ablesen.
   
   $\vec{n_1}=\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$
   
   $\vec{n_2}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$

2. Skalarprodukt berechnen

   $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}$ $=\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ $=9\cdot1+8\cdot1+7\cdot2$ $=31$

3. Beträge der Normalenvektoren berechnen

   $|\vec{n_1}|=\sqrt{9^2+8^2+7^2}$ $=\sqrt{194}$
   
   $|\vec{n_2}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{6}$

4. Ergebnisse in die Formel einsetzen

   $\cos(\gamma) = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$
   
   $\cos(\gamma) = \frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}$
   
   $\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}\right)$ $\approx24,68°$