Угол пересечения двух плоскостей

Угол пересечения между двумя плоскостями вычисляется как, угол пересечения двух прямых (или как угол пересечения двух векторов).

Есть две плоскости (в идеале нормальной или декартовой форме для определения нормального вектора):

$E_1: (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n_1}=0$

$E_2: (\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{n_2}=0$

Теперь для вычисления угла используются два нормальных вектора плоскостей:

Например

$\text{E: } 9x + 8y + 7z = 0$

$\text{F: } x+y+2z=0$

1. Считайте нормальные векторы

   При декартовой форме, нормальный вектор всегда может быть считан факторами x, y и z.
   
   $\vec{n_1}=\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$
   
   $\vec{n_2}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$

2. Вычислите скалярное произведение

   $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}$ $=\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ $=9\cdot1+8\cdot1+7\cdot2$ $=31$

3. Вычислите абсолютное значение номального вектора

   $|\vec{n_1}|=\sqrt{9^2+8^2+7^2}$ $=\sqrt{194}$
   
   $|\vec{n_2}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{6}$

4. Вставьте результаты в формулу

   $\cos(\gamma) = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$
   
   $\cos(\gamma) = \frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}$
   
   $\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}\right)$ $\approx24.68°$