Математика ↠ Относительное положение прямых ↠ Угол между двумя прямыми

Угол между двумя прямыми

Угол между двумя прямыми рассчитывается также как, угол между двумя векторами.

!

Запомните

В отличие от векторов, угол между двумя линиями всегда меньше 90°.

Даны две прямые:

$\text{g: } \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{a}$

$\text{h: } \vec{x} = \vec{v} + s \cdot \vec{b}$

Для определения угла используются векторы направления прямых:

$\cos(\gamma) = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

$\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)$
i

Метод

  1. Вычислите скалярное произведение вектора наравления
  2. Вычислите величину векторов направления
  3. Вставьте результаты в формулу

Например

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

  1. Вычислите скалярное произведение

    $\vec{a}\cdot\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ $=9\cdot1+8\cdot1+7\cdot2$ $=31$

  2. $|\vec{a}|=\sqrt{9^2+8^2+7^2}$ $=\sqrt{194}$

    $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{6}$

  3. Вставьте результаты в формулу

    $\cos(\gamma) = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

    $\cos(\gamma) = \frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}$

    $\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}\right)$ $\approx24.68°$