Непересекающиеся, непараллельные прямые

Линии которые не параллельны и не пересекаются, называются непересекающимися, непараллельными прямыми.

Например

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

1. Векторы направления не коллинеарны?

   Во-первых, проверьте, являются ли векторы направления кратными друг другу (=коллинеарными).

   $\vec{a}=t\cdot\vec{b}$

   $\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

   Определите $t$ для каждой строки

   1. $0=t\cdot0$
   2. $4=t\cdot0$
   3. $0=t\cdot8$
   
   
   1. $0=0$
   2. $4=0$
   3. $t=0$

   Во второй строке возникло противоречие. Таким образом, векторы направления не являются коллинеарными.

2. Приравняйте $g$ и $h$

   Приравнивая линейные уравнения, мы пытаемся найти точку пересечения. Если возникает противоречие то прямые будут непересекающимися, непараллельными прямыми.

   $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

   Теперь мы составим систему уравнений и решим ее.

   1. $2+r\cdot0=6+s\cdot0$
   2. $4+r\cdot4=4+s\cdot0$
   3. $6+r\cdot0=8+s\cdot8$
   
   
   1. $2=6$
   2. $4+4r=4$
   3. $6=8+8s$

   Противоречивый результат в I. (ложное утверждение)
   => Непересекающиеся, непараллельные прямые