Пересекающиеся прямые
Две прямые могут пересекаться и иметь точку пересечения.
Требования
- Векторы направления не являются коллинеарными
- При приравнивании линейных уравнений, мы получаем определенный результат
Вычисление точек пересечения
Чтобы вычислить точку пересечения, мы следуем схеме приведенной выше. Результат выполнения шага 2 для $r$ или $s$ вставляется в соответствующее линейное уравнение.
Например
$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$
$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
-
Векторы направления не коллинеарны?
Во-первых, мы исследуем, являются ли векторы направления кратными друг другу (=коллинеарными).$\vec{a}=t\cdot\vec{b}$
$\begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Вычислите $t$ для каждой строки
- $9=t\cdot1$
- $8=t\cdot1$
- $7=t\cdot2$
- $t=9$
- $t=8$
- $t=3.5$
$t$ не имеет везде одинакового значения. Таким образом, векторы направления не являются коллинеарными. Поэтому прямые являются, непараллельными и не пересекающимися или имеют точку пересечения.
-
Приравняйте $g$ и $h$
Теперь приравняйте линейные уравнения и вычислите $r$ и $s$.$\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Теперь мы создаем систему уравнений и решаем ее.
- $10+9r=4+s$
- $9+8r=4+s$
- $7+7r=6+2s$
Метод уравнения: приравнять I. и II.
$4+s=4+s$
$10+9r=9+8r\quad|-8r$
$10+r=9\quad|-10$
$r=-1$Вычислите $s$ с помощью, например, I. (для этого вставьте $r=-1$)
$10+9\cdot(-1)=4+s$
$1=4+s\quad|-4$
$s=-3$Для проверки подставьте $r=-1$ и $s=-3$ в III.
$7+7\cdot(-1)=6+2\cdot(-3)$
$0=0$$r=-1$ и $s=-3$ результат всех уравнений
=> прямые пересекаются. -
Определение точки пересечения
для определения точки пересечения подставим $r=-1$ в $g$.$\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
=> Прямые пересекаются в точке $S(1|1|0)$.