Mathe ↠ Lagebeziehungen von Geraden ↠ Schnittpunkt berechnen

Sich schneidende Geraden

Zwei Geraden können sich schneiden und besitzen dann einen Schnittpunkt.

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Bedingungen

  1. Richtungsvektoren sind nicht kollinear
  2. Beim Gleichsetzen der Geradengleichungen gibt es ein eindeutiges Ergebnis

Schnittpunkt berechnen

Um den Schnittpunkt zu berechnen, folgt man dem obigen Schema. Die Lösung aus Schritt 2 für $r$ oder $s$ setzt man dann in die zugehörige Geradengleichung ein.

Beispiel

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

  1. Richtungsvektoren nicht kollinear?

    Zuerst wird untersucht, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander (=kollinear) sind.

    $\vec{a}=t\cdot\vec{b}$

    $\begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Für jede Zeile wird nun $t$ berechnet

    1. $9=t\cdot1$
    2. $8=t\cdot1$
    3. $7=t\cdot2$

    1. $t=9$
    2. $t=8$
    3. $t=3,5$

    $t$ hat nicht überall den gleichen Wert. Die Richtungsvektoren sind also nicht kollinear, weshalb die Geraden windschief sind oder einen Schnittpunkt haben.

  2. $g$ und $h$ gleichsetzen

    Nun setzt man die Geradengleichungen gleich und berechnet $r$ und $s$.

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Nun stellen wir ein Gleichungsystem auf und lösen es.

    1. $10+9r=4+s$
    2. $9+8r=4+s$
    3. $7+7r=6+2s$

    Gleichsetzungsverfahren: I. und II. gleichsetzen

    $4+s=4+s$
    $10+9r=9+8r\quad|-8r$
    $10+r=9\quad|-10$
    $r=-1$

    $s$ mit z. B. I. berechnen (dazu $r=-1$ einsetzen)

    $10+9\cdot(-1)=4+s$
    $1=4+s\quad|-4$
    $s=-3$

    Zur Überprüfung $r=-1$ und $s=-3$ in III. einsetzen

    $7+7\cdot(-1)=6+2\cdot(-3)$
    $0=0$

    Aus allen drei Gleichungen folgt $r=-1$ und $s=-3$
    => Die Geraden schneiden sich.

  3. Schnittpunkt berechnen

    Um den Schnittpunkt zu berechnen, wird $r=-1$ in $g$ eingesetzt.

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

    => Die Geraden schneiden sich im Punkt $S(1|1|0)$.