Parallele Geraden

Parallele Geraden werden unterteilt in echt parallele und identische.

Um zu überprüfen, ob Geraden im Raum echt parallel oder identisch sind, kann das Bearbeitungsschema genutzt werden.

Identische Geraden

Bei identischen Geraden handelt es sich um ein und dieselbe Gerade nur mit einer anderen Gleichung.

Echt parallele Geraden

Parallele Geraden, die nicht identisch sind, nennt man echt parallel.

Beispiel

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. Richtungsvektoren kollinear?

   Zuerst wird untersucht, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander (=kollinear) sind.

   $\vec{a}=t\cdot\vec{b}$

   $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

   Für jede Zeile wird nun $t$ berechnet

   $-3=t\cdot(-3)$
   $5=t\cdot5$
   $2=t\cdot2$
   

   Wenn sich aus allen Zeilen das gleiche $t$ ergibt (hier: $t=1$), dann sind die Vektoren kollinear.

2. Stützvektor von $h$ in $g$ einsetzen

   Nun wird der Stützvektor der einen Geraden (hier: $h$) in die andere eingesetzt.

   $\begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

   Nun stellen wir ein Gleichungssystem auf und lösen es. Wenn $r$ in allen Gleichungen gleich ist, dann liegt der Stützpunkt auf beiden Geraden und sie sind identisch.

   1. $-3=3-3r$
   2. $14=4+5r$
   3. $10=6+2r$
   
   
   1. $r=2$
   2. $r=2$
   3. $r=2$

   => Die Geraden sind identisch.