Punktprobe: Punkt auf Geraden?

Bei der Punktprobe geht es darum, zu überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt.

Beispiel

Befindet sich der Punkt $A(-3|14|10)$ auf der Geraden $g$?.

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. $A$ in $g$ einsetzen

   Der Ortsvektor (Vektor mit den Koordinaten des Punktes) von $A$ wird für $\vec{x}$ in $g$ eingesetzt.

   $\begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. Gleichungsystem aufstellen

   Nun stellen wir ein Gleichungsystem auf und lösen es. Jede Zeile ist eine Gleichung.
   1. $-3=3-3r$
   2. $14=4+5r$
   3. $10=6+2r$
   
   
   1. $r=2$
   2. $r=2$
   3. $r=2$

3. Überprüfen

   Wenn es keinen Widerspruch gibt und $r$ in allen Gleichungen gleich ist, dann ist der Punkt auf der Geraden.

   I, II, III: $r=2$

   => Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden.