Mathe ↠ Geraden im Raum ↠ Punkt auf Strecke

Punkt auf Strecke?

Die Überprüfung, ob ein Punkt auf der Strecke liegt, entspricht der Punktprobe mit einer weiteren Bedingung.

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Vorgehensweise

Punkt $P$ auf Strecke $\overline{AB}$?

  1. Aus $A$ und $B$ die Geradengleichung aufstellen
  2. Punktprobe mit $P$ auf $g_{AB}$
  3. $r$ muss zwischen 0 und 1 liegen*
*Voraussetzung ist, dass die Geradengleichung $\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB}$ lautet (keinen anderen Stütz- oder Richtungsvektor).

Beispiel

Befindet sich der Punkt $P(-3|14|10)$ auf der Strecke $\overline{AB}$?.

$A(3|4|6)$ und $B(0|9|8)$

  1. $g_{AB}$ aufstellen

    Geradengleichung aus zwei Punkten aufstellen.

    $\text{g: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB}$

    $\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  2. Punktprobe

    Der Ortsvektor (Vektor mit den Koordinaten des Punktes) von $A$ wird für $\vec{x}$ in $g$ eingesetzt.

    $\begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Nun stellen wir ein Gleichungsystem auf und lösen es. Jede Zeile ist eine Gleichung.

    1. $-3=3-3r$
    2. $14=4+5r$
    3. $10=6+2r$

    1. $r=2$
    2. $r=2$
    3. $r=2$

  3. Überprüfen

    Da für alle Gleichungen $r=2$ gilt, liegt der Punkt auf der Geraden $g_{AB}$. Jedoch liegt er nicht auf der Strecke $\overline{AB}$, da $r>1$.

    => Der Punkt $P$ liegt nicht auf der Strecke.