Математика ↠ Трехмерные линии ↠ Точка на отрезке прямой

Точка на отрезке прямой?

Проверка того, находится ли точка на отрезке прямой, подобна выяснению, находится ли точка на прямой, но с одним дополнительным условием.

i

Метод

Точка $P$ на отрезке прямой $\overline{AB}$?

  1. Составьте линейное уравнение из $A$ и $B$
  2. Выясните, находится ли точка на прямой с $P$ на $g_{AB}$
  3. $r$ должен быть между 0 и 1*
*Условие состоит в том, что линейное уравнение составляет $\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB}$ ( при этом нет другого опорного вектора или вектора направления).

Например

Точка $P(-3|14|10)$ находится на отрезке прямой $\overline{AB}$ ?

$A(3|4|6)$ и $B(0|9|8)$

  1. Составьте $g_{AB}$

    Составьте линейное уравнение для двух точек.

    $\text{g: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB}$

    $\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  2. Точка на прямой

    Вектор положения (вектор с координатами точки) $A$ должен быть вставлен для $\vec{x}$ в $g$.

    $\begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Теперь мы составим систему уравнений и решим ее. Каждая строка-это уравнение.

    1. $-3=3-3r$
    2. $14=4+5r$
    3. $10=6+2r$

    1. $r=2$
    2. $r=2$
    3. $r=2$

  3. Проверьте

    $r=2$ находится во всех уравнениях, поэтому точка находится на прямой $g_{AB}$. Однако точка находится не на отрезке прямой $\overline{AB}$, потому что $r>1$.

    => Точка $P$ не находится на отрезке прямой.