Gleichsetzungsverfahren

Eines der Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen ist das Gleichsetzungsverfahren.

Beim Gleichsetzungsverfahren werden die Gleichungen nach einer unbekannten Variablen umgestellt. Die umgestellte Gleichung wird dann mit der anderen Gleichung gleichgesetzt. Man erhält eine Gleichung mit nur einer Variablen, welche mithilfe von Äquivalenzumformung gelöst werden kann.

Beispiel

1. Gegeben sind zwei lineare Gleichungen:

   1. $3x=y-30$
   2. $y-6x=54$

2. Beide Gleichung nach einer Variablen umstellen

   1. $3x=y-30$   $|+30$
   2. $y-6x=54$   $|+6x$
   
   
   1. $\color{red}{y}=\color{green}{3x+30}$
   2. $\color{red}{y}=\color{green}{54+6x}$

3. Gleichungen gleichsetzen und lösen

   $\color{red}{y}=\color{red}{y}$
   $\color{green}{3x+30}=\color{green}{54+6x}$   $|-30$
   $3x=24+6x$   $|-6x$
   $-3x=24$   $|:(-3)$
   $x=\color{blue}{-8}$

4. $x=\color{blue}{-8}$ in I oder II einsetzen und lösen

   I.$3\color{blue}{x}=y-30$
   
   $3\cdot\color{blue}{-8}=y-30$
   $-24=y-30$   $|+30$
   $y=6$

5. Lösungsmenge:

   $L=\{-8|6\}$