Lineare Gleichung

Jede lineare Gleichung besitzt eine Variable $x$, die in keiner höheren Potenz vorkommt (z. B. $x^2$ oder $x^3$). Eine lineare Gleichung kann eine, zwei oder mehrere Unbekannte haben. Die allgemeine Form für eine lineare Gleichung mit einer Variablen ist:

$ax+b=0$

$a$ und $b$ sind reelle Zahlen
$x$ ist die Unbekannte bzw. Variable

$a$ und $b$ muss man sich hier als „Platzhalter“ vorstellen. In einer konkreten linearen Gleichungen sind das dann feste Zahlen.

Beispiel

Für $a=3$ und $b=2$ erhält man die lineare Gleichung:

$3x+2=0$

Tipp

Meistens wird die Variable in linearen Gleichungen mit $x$ bezeichnet. Merke jedoch, dass auch Gleichungen mit anderen Buchstaben lineare Gleichungen sein können.

Weitere Beispiele von Gleichungen

Lineare Gleichungen

$3x=15$
$5x^1+3=0$
$5t+6=12$

Keine linearen Gleichungen

Gleichungen, bei denen die Variable eine höhere Potenz, z. B. „hoch zwei“, enthält, gelten nicht mehr als linear.

$x^2+4=29$ (quadratische Gleichung)
$\frac{8}x=4$ ist eine Bruchgleichung
$5x^5+12y+18=0$ (Gleichung 5. Grades)

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Eine lineare Gleichung liegt also vor, wenn alle Variablen nur „hoch 1“ vorkommen. Beachte, dass $x^1=x$ und die Hochzahl deshalb normalerweise weggelassen wird.

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Eine weitere übliche Schreibweise für lineare Gleichungen mit einer Variablen ist:

$ax=b$

Diese Formel kann man mit Äquivalenzumformung umformen, das heißt anders aufschreiben, ohne die Lösung zu ändern. So erhält man durch die Subtraktion von $b$ auf beiden Seiten die allgemeine Form $ax-b=0$

Zusatzinfo

Für Neugierige: Ob wir jetzt $+b$ oder $-b$ in der allgemeinen Form $ax+b=0$ stehen haben, ist egal. Denn $a$ und $b$ sind ja nur Platzhalter für alle möglichen Zahlen (sowohl positive als auch negative).

Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen

Prinzipiell ist eine lineare Gleichung nicht auf eine Variable beschränkt. Häufig findet man auch lineare Gleichungen mit zwei Variablen.

Diese Gleichungen sind besonders im Kontext von linearen Gleichungssystemen interessant.

Beispiele

$3x+7y=10$
$-r+4s=2t+8$