Mathe Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung ist jede Gleichung, die man in folgende allgemeine Form bringen kann:

$ax^2+bx+c=0$

Voraussetzung ist, dass $a \ne 0$. $a$, $b$ und $c$ sind Koeffizienten.

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Beachte

Eine quadratische Gleichung kann entweder eine, zwei oder keine Lösungen haben.
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Merke

Die Gleichung $x^2+px+q=0$ heißt Normalform der quadratischen Gleichung. Es ist möglich jede quadratische Gleichung in die Normalform zu bringen.

Um eine quadratische Gleichung in die Normalform zu bringen, wird die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten $a$ geteilt (die Zahl, die vor dem $x^2$ steht).

$ax^2+bx+c=0\quad|:a$
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Beispiel

Bringe die Gleichung $2x^2+8x+7=0$ in die Normalform.

$2x^2+8x+7=0\quad|:2$
$x^2+4x+3,5=0$

Quadratische Gleichungen: Einführung, Formen, Lösungswege

Kooperation mit dem Kanal von Mister Mathe

Man unterscheidet zwischen der allgemeinen Form und der Normalform einer quadratischen Gleichung. Mit Äquivalenzumformung kann jede quadratische Gleichung in diese Formen gebracht werden.

Eine quadratische Gleichung hat immer einen quadratischen Teil ($ax^2$ mit $a\neq0$), da die Gleichung sonst nicht quadratisch wäre. Ein lineares oder absolutes Glied ist jedoch nicht zwingend vorhanden.

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Info

Für eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ bezeichnet man $ax^2$ als quadratisches Glied, $bx$ als lineares Glied und $c$ als absolutes Glied.

Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied $bx$ wird als rein quadratisch bezeichnet. Die Lösung erhält man dann durch Umstellen und Wurzelziehen.

Gemischt quadratische Gleichungen $ax^2+bx+c=0$ haben ein quadratisches und lineares Glied ($a\neq0$ und $b\neq0$).

Fehlt das absolute Glied lässt sich die Gleichung $ax^2+bx=0$ am leichtesten mit dem Satz vom Nullprodukt lösen. Ansonsten bieten sich folgende Lösungsverfahren an: