Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung ist jede Gleichung, die man in folgende allgemeine Form bringen kann:
Voraussetzung ist, dass $a \ne 0$. $a$, $b$ und $c$ sind Koeffizienten.
Beachte
Merke
Um eine quadratische Gleichung in die Normalform zu bringen, wird die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten $a$ geteilt (die Zahl, die vor dem $x^2$ steht).
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
Beispiel
Bringe die Gleichung $2x^2+8x+7=0$ in die Normalform.
$2x^2+8x+7=0\quad|:2$$x^2+4x+3,5=0$
Quadratische Gleichungen: Einführung, Formen, Lösungswege
Man unterscheidet zwischen der allgemeinen Form und der Normalform einer quadratischen Gleichung. Mit Äquivalenzumformung kann jede quadratische Gleichung in diese Formen gebracht werden.
Eine quadratische Gleichung hat immer einen quadratischen Teil ($ax^2$ mit $a\neq0$), da die Gleichung sonst nicht quadratisch wäre. Ein lineares oder absolutes Glied ist jedoch nicht zwingend vorhanden.
Info
Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied $bx$ wird als rein quadratisch bezeichnet. Die Lösung erhält man dann durch Umstellen und Wurzelziehen.
Gemischt quadratische Gleichungen $ax^2+bx+c=0$ haben ein quadratisches und lineares Glied ($a\neq0$ und $b\neq0$).
Fehlt das absolute Glied lässt sich die Gleichung $ax^2+bx=0$ am leichtesten mit dem Satz vom Nullprodukt lösen. Ansonsten bieten sich folgende Lösungsverfahren an:
- Mitternachtsformel (allgemeine Form)
- PQ-Formel (Normalform)
- Quadratische Ergänzung (Normalform, aufwändig)