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PQ-Formel

Alle quadratischen Gleichungen lassen sich mit der PQ-Formel lösen, ohne zum Beispiel die aufwendige quadratische Ergänzung anwenden zu müssen.

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Merke

Die PQ-Formel darf nur bei quadratischen Gleichungen in der Normalform (das $x^2$ in der Gleichung wird lediglich mit 1 multipliziert) angewendet werden.

Gegeben ist eine quadratische Gleichung in der Normalform: $x^2+\color{green}{p}x+\color{blue}{q}=0$.
Die PQ-Formel zum Lösen dieser Gleichung lautet:

$x_{1,2} = -\frac{\color{green}{p}}{2} \pm\sqrt{(\frac{\color{green}{p}}{2})^2-\color{blue}{q}}$

Beispiel

Quadratische Gleichung in Normalform: $x^2+\color{green}{6}x+\color{blue}{5}=0$

  1. $p$ und $q$ in die PQ-Formel einsetzen:


    $x_{1,2} = -\frac{\color{green}{p}}{2} \pm\sqrt{(\frac{\color{green}{p}}{2})^2-\color{blue}{q}}$
    $x_{1,2} = -\frac{\color{green}{6}}{2} \pm\sqrt{(\frac{\color{green}{6}}{2})^2-\color{blue}{5}}$

  2. Term vereinfachen


    $x_{1,2} = -3 \pm\sqrt{3^2-5}$
    $x_{1,2} = -3 \pm\sqrt{4}$
    $x_{1,2} = -3 \pm2$

  3. Lösungen ausrechnen


    $x_{1} = -3+2=-1$
    $x_{2} = -3-2=-5$

pq-Formel: Quadratische Gleichung lösen

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Um die PQ-Formel anzuwenden, bringt man die quadratische Gleichung vorher in die Normalform $x^2+bx+c=0$. Anonsten muss die Gleichung vorher in diese überführt werden.

Anschließend können die Koeffizienten $p$ und $q$ in die PQ-Formel eingesetzt werden. Achte dabei auf die Vorzeichen der Koeffizienten!

Lösungen

Eine quadratische Gleichung kann folgende Lösungen haben:

  • zwei Lösungen: durch das $\pm$ entstehen zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$
  • eine Lösung: die Wurzel fällt weg und es gilt $x_1=x_2$
  • keine Lösung: die Wurzel ist negativ und somit nicht definiert