Gemischt quadratische Gleichungen
Eine gemischt quadratische Gleichung ist eine Gleichung in der Form:
Gemischt quadratische Gleichungen können mithilfe der quadratischen Ergänzung gelöst werden.
Vorgehensweise
- Falls ein Koeffizient vor dem $x^2$ steht, muss dieser vorher ausgeklammert werden, zum Beispiel:
$2x^2+4x=8$
$2(x^2+2x)=8$ -
Quadratische Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung
$x^2+px\color{red}{+(\frac{p}{2})^2}=-q+\color{red}{(\frac{p}{2})^2}$ - Binomische Formel rückwärts anwenden $(x+\color{red}{\frac{p}{2}})^2=-q+\color{red}{(\frac{p}{2})^2}$
- Quadratwurzel ziehen und $x$ auf eine Seite bringen
Beispiel
-
$p$ bestimmen:
$x^2+20x=-19$
$p=20$ -
quadratische Ergänzung $+(\frac{p}{2})^2$:
$x^2+20x=-19$ $|+\color{red}{10^2}$
$x^2+20x+\color{red}{10^2}=-19+\color{red}{10^2}$ -
Binomische Formel rückwärts anwenden und Quadratwurzel ziehen
$(x+10)^2=81$ $|\sqrt{}$ -
$x$ alleine auf eine Seite der Gleichung bringen
Es gibt zwei Lösungen (einmal positive und einmal negative Quadratwurzel)
$x+10=9$ $|-10$
und
$x+10=-9$ $|-10$ - $x_1=-1$ und $x_2=-19$
Quadratische Ergänzung: Quadratische Gleichungen lösen
Eine quadratische Ergänzung kann nur angewendet werden, wenn die quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+bx+c=0$ ist bzw. zumindest kein Koeffizient direkt vor dem $x^2$ steht. Ansonsten muss die Gleichung vorher in diese überführt werden.
Durch Addition von $(\frac{p}2)^2$ auf beiden Seiten der Gleichung verfälscht man die Gleichung nicht. Anschließend kann die erste oder zweite binomische Formel rückwärts angewendet werden.
Nun hat man entweder die gewünschte Scheitelpunktform, indem umgestellt und zusammengefasst wird oder muss zum Lösen der gemischt quadratischen Gleichung noch die Wurzel auf beiden Seiten ziehen.
4 Beispiele: Quadratische Ergänzung: Quadratische Gleichungen lösen
