Mathe ↠ Quadratische Funktionen ↠ Scheitelpunktform

Scheitelpunktform

Wenn man das Verschieben und Strecken berücksichtigt, entsteht folgende allgemeine Gleichung, die auch Scheitelpunktform genannt wird:

$f(x)=a(x-\color{blue}{d})^2+\color{green}{c}$

Aus dieser Gleichung kann man den Scheitelpunkt erkennen und wie die Normalparabel verschoben/gestreckt ist. Der Scheitelpunkt ist immer: $S(\color{blue}{d}|\color{green}{c})$

!

Merke

Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel:

  • Wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der Tiefpunkt.
  • Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der Hochpunkt.

Häufig liegt eine quadratische Gleichung jedoch in der allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vor. Um diese in die Scheitelpunktform umzuwandeln nutzt man die quadratische Ergänzung.

i

Vorgehensweise

  1. Koeffizienten vor $x^2$ ausklammern
  2. Quadratische Ergänzung anwenden: $f(x)=x^2+px+(\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2$
  3. Binomische Formel anwenden

Beispiel

Wandle die Funktion $f(x)=2x^2+8x+6$ in die Scheitelpunktform um.

  1. Koeffizienten vor $x^2$ ausklammern


    $f(x)=2(x^2+4x+3)$

  2. Quadratische Ergänzung anwenden


    $f(x)=2(x^2+4x\color{red}{+(\frac{4}{2})^2-(\frac{4}{2})^2}+3)$
    $f(x)=2(x^2+4x+4-4+3)$

  3. Binomische Formel rückwärts anwenden


    $f(x)=2((x+2)^2-1)$
    $f(x)=2(x+2)^2-2$

  4. Scheitelpunkt angeben

    Beachte, dass sich bei $d$ das Vorzeichen ändert.

    $S(-2|-2)$