Nullstellenberechnung
Die x-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse bezeichnet man als Nullstelle. Eine Nullstelle liegt also genau dann vor, wenn die y-Koordinate Null ist.
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Vorgehensweise
- Funktion gleich Null setzen ($x_{ N } \Leftrightarrow f(x_N)=0$)
- Gleichung nach $x$ auflösen
Beispiele
Aufgabe: Berechne die Nullstellen der Funktionen.
$f(x)=x^{ 2 }$
-
Funktion gleich Null setzen
$x^2=0$ -
Gleichung nach $x$ auflösen
$x^2=0\quad|\sqrt{}$
$x_{ N }=0$
$g(x)=x^2+1$
-
Funktion gleich Null setzen
$x^2+1=0$ -
Gleichung nach $x$ auflösen
$x^2+1=0\quad|-1$
$x^2=-1\quad|\pm\sqrt{}$
$x_{ N }=\sqrt{ -1 }$ => nicht definiert (es gibt keine Nullstelle)
$h(x)=x^2-4$
-
Funktion gleich Null setzen
$x^2-4=0$ -
Gleichung nach $x$ auflösen
$x^2-4=0\quad|+4$
$x^2=4\quad|\pm\sqrt{}$
$x_{ N1 }=-\sqrt{ 4 }=-2$
$x_{ N2 }=+\sqrt{ 4 }=2$
Nullstellen berechnen: Parabel/quadratische Funktion
Kooperation mit dem Kanal von Mister Mathe
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Der Graph einer quadratischen Funktion kann unterschiedlich viele Nullstellen haben:
- eine Nullstelle: Der Scheitelpunkt liegt genau auf der x-Achse
- keine Nullstelle: Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet oder der Scheitelpunkt liegt unterhalb der y-Achse und die Parabel ist nach unten geöffnet
- zwei Nullstellen: Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse und die Parabel ist nach unten geöffnet oder der Scheitelpunkt liegt unterhalb der y-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet
Bei der Nullstelle handelt es sich also um die x-Koordinate eines Punktes der auf der x-Achse und auf dem Funktionsgraphen liegt. Durch die Eigenschaften einer Parabel ist eine andere Anzahl Nullstellen nicht möglich.
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Beachte
Damit beim Berechnen der Nullstelle des Graphen einer quadratischen Funktion auch alle Nullstellen gefunden werden, musst du immer die positive und negative Wurzel ziehen. Steht unter der Wurzel eine negative Zahl, ist der Term nicht definiert und die Funktion hat keine Nullstelle.