Математика ↠ Квадратные функции ↠ Форма вершины

Форма вершины

Учитывая смещение и растяжение, следующее общее уравнение, также называемое формой вершины, гласит:

$f(x)=a(x-\color{blue}{d})^2+\color{green}{c}$

Из этого уравнения можно видеть вершину и то, как стандартная парабола смещается / растягивается. Вершина всегда: $S(\color{blue}{d}|\color{green}{c})$

!

Запомни

Вершиной является высшая или низшая точка параболы:

  • Когда ветви параболы направлены вверх, вершиной является точка минимума.
  • Когда ветви параболы направлены вниз, вершиной является точка максимума.

Однако часто квадратное уравнение находится в общем виде $f(x)=ax^2+bx+c$. Чтобы преобразовать его в форму вершины, используйте дополнение до полного квадрата.

i

Способ

  1. Исключите коэффициенты перед $x^2$
  2. Применяется дополнение до полного квадрата: $f(x)=x^2+px+(\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2$
  3. Применяются формулы сокращенного умножения

Пример

Преобразите функцию $f(x)=2x^2+8x+6$ в форму вершины.

  1. Исключите коэффициент перед $x^2$


    $f(x)=2(x^2+4x+3)$

  2. Применяется дополнение до полного квадрата


    $f(x)=2(x^2+4x\color{red}{+(\frac{4}{2})^2-(\frac{4}{2})^2}+3)$
    $f(x)=2(x^2+4x+4-4+3)$

  3. Применяется обратная формула сокращенного умножения


    $f(x)=2((x+2)^2-1)$
    $f(x)=2(x+2)^2-2$

  4. Определите вершину

    Заметьте, что знак меняется в $d$.

    $S(-2|-2)$