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Mitternachtsformel

Jede quadratische Gleichungen lässt sich auch mit der Mitternachtsformel (manchmal abc-Formel genannt) lösen.

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Tipp

Im Gegensatz zur PQ-Formel muss die quadratische Gleichungen bei der Mitternachtsformel nicht in der Normalform vorliegen.

Je nach Bundesland ist es unterschiedlich, ob die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel unterrichtet wird. Letztendlich kommt man jedoch mit beiden Formeln zum gleichen Ergebnis.

Gegeben ist eine quadratische Gleichung in der Form: $\color{red}{a}x^2+\color{green}{b}x+\color{blue}{c}=0$.
Die Mitternachtsformel zum Lösen dieser Gleichung lautet:

$x_{1,2} = \frac{-\color{green}{b} \pm \sqrt{\color{green}{b}^2 - 4\color{red}{a}\color{blue}{c}}}{2\color{red}{a}}$

Beispiel

Quadratische Gleichung lösen: $\color{red}{3}x^2+\color{green}{18}x+\color{blue}{15}=0$

  1. $a$, $b$ und $c$ in die Mitternachtsformel einsetzen:


    $x_{1,2} = \frac{-\color{green}{b} \pm \sqrt{\color{green}{b}^2 - 4\color{red}{a}\color{blue}{c}}}{2\color{red}{a}}$
    $x_{1,2} = \frac{-\color{green}{18} \pm \sqrt{\color{green}{18}^2 - 4\cdot\color{red}{3}\cdot\color{blue}{15}}}{2\cdot\color{red}{3}}$

  2. Term vereinfachen


    $x_{1,2} = \frac{-18 \pm \sqrt{324 - 180}}{6}$
    $x_{1,2} = \frac{-18 \pm \sqrt{144}}{6}$
    $x_{1,2} = \frac{-18 \pm 12}{6}$

  3. Lösungen ausrechnen


    $x_{1} = \frac{-18 + 12}{6} = \frac{-6}{6}=-1$
    $x_{2} = \frac{-18 - 12}{6} = \frac{-30}{6}=-5$

Mitternachts- / ABC-Formel: Quadratische Gleichungen lösen

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Bei quadratischen Gleichungen in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ bietet sich statt der PQ-Formel die Mitternachtsformel an.

  • Vorteil der Mitternachtsformel: Keine Normalform nötig
  • Nachteil der Mitternachtsformel: Die Formel ist schwieriger zu merken

Lösungen

Auch hier können sich für die quadratische Gleichung unterschiedlich viele Lösungen ergeben:

  • zwei Lösungen: durch das $\pm$ entstehen zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$
  • eine Lösung: die Wurzel wird 0 und es gilt $x_1=x_2$
  • keine Lösung: die Wurzel ist negativ und somit nicht definiert