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Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung wird genutzt, um einen Term so umzuformen, dass man die erste oder zweite binomische Formel rückwärts anwenden kann.

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Vorgehensweise

  1. Quadratische Term mit der Form:
    $x^2+px$
    Wichtig: Falls ein Koeffizient vor $x^2$ steht, muss dieser vorher ausgeklammert werden

  2. Quadratische Ergänzung
    $x^2+px\color{red}{+(\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2}$

  3. Binomische Formel rückwärts anwenden $(x+\color{red}{\frac{p}{2}})^2\color{red}{-(\frac{p}{2})^2}$
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Tipp

Die quadratische Ergänzung wird häufig benutzt, um eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform zu bekommen oder eine gemischt quadratische Gleichung zu lösen.

Beispiel

Bringe die Funktion $f(x)=2x^2-80x$ in die Scheitelpunktform

  1. Koeffizient vor $x^2$ ausklammern


    $f(x)=2x^2-80x$
    $f(x)=2(x^2-40x)$

  2. Quadratische Ergänzung anwenden


    $f(x)=2(x^2-40x+\color{red}{(\frac{40}{2})^2}-\color{red}{(\frac{40}{2})^2})$

  3. 2. binomische Formel rückwärts anwenden und Klammer auflösen


    $f(x)=2(x^2-40x+\color{red}{20^2}-\color{red}{20^2})$
    $f(x)=2((x-\color{red}{20})^2-\color{red}{400})$
    $f(x)=2(x-20)^2-800$

Quadratische Ergänzung: Quadratische Gleichungen lösen

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Eine quadratische Ergänzung kann nur angewendet werden, wenn die quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+bx+c=0$ ist bzw. zumindest kein Koeffizient direkt vor dem $x^2$ steht. Ansonsten muss die Gleichung vorher in diese überführt werden.

Durch Addition von $(\frac{p}2)^2$ auf beiden Seiten der Gleichung verfälscht man die Gleichung nicht. Anschließend kann die erste oder zweite binomische Formel rückwärts angewendet werden.

Nun hat man entweder die gewünschte Scheitelpunktform, indem umgestellt und zusammengefasst wird oder muss zum Lösen der gemischt quadratischen Gleichung noch die Wurzel auf beiden Seiten ziehen.