Математика ↠ Квадратные уравнения ↠ Дополнение до полного квадрата

Дополнение до полного квадрата

Дополнение до полного квадрата используется для преобразования квадратного уравнения в форму, соответствующую первой или второй формулам сокращенного умножения.

i

Способ

  1. Дополните до полного квадрата уравнение вида:
    $x^2+px$
    Важно: Если коэффициент стоит перед $x^2$, его нужно сократить заранее

  2. Дополнение до полного квадрата
    $x^2+px\color{red}{+(\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2}$

  3. Применяется формула сокращенного умножения в обратном порядке $(x+\color{red}{\frac{p}{2}})^2\color{red}{-(\frac{p}{2})^2}$
i

Подсказка

Дополнение до полного квадрата зачастую используется, чтобы получить квадратную функцию в форме вершины или решить смешанное квадратное уравнение.

Пример

Возведите функцию $f(x)=2x^2-80x$ в форму вершины

  1. Сократите коэффициент заранее $x^2$


    $f(x)=2x^2-80x$
    $f(x)=2(x^2-40x)$

  2. Применяется дополнение до полного квадрата


    $f(x)=2(x^2-40x+\color{red}{(\frac{40}{2})^2}-\color{red}{(\frac{40}{2})^2})$

  3. Применяется 2я обратная формула сокращенного умножения и раскрытие скобок


    $f(x)=2(x^2-40x+\color{red}{20^2}-\color{red}{20^2})$
    $f(x)=2((x-\color{red}{20})^2-\color{red}{400})$
    $f(x)=2(x-20)^2-800$