Äquivalenzumformung

Bei Äquivalenzumformung oder auch äquivalenter Umformung wird eine Gleichung umgeformt, ohne dass sich die Lösungsmenge der Gleichung verändert. Häufig nutzt man die Äquivalenzumformung zur Lösung einer Gleichung.

Ziel ist es die gesuchte Variable (z. B. $x$) zu isolieren, also die Gleichung nach der Variablen aufzulösen. Die Variable steht dann alleine auf einer Seite: $x=...$

Merke

Additions- und Subtraktionsregel

Werden beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert, ändert sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht.

Multiplikations- und Divisionsregel

Werden beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl ungleich 0 multipliziert oder dividiert, ändert sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht.

Damit klar ist, welche Operation auf beiden Seiten angewendet wird, schreibt man diese mit einem senkrechten Strich daneben, z. B. schreibt man folgendes, bevor man auf beiden Seiten der Gleichung $3x-2=6$ die 2 addiert:

$3x-2=6\quad\color{red}{|+2}$

Beispiele

Additionsregel

Wir addieren auf beiden Seiten dieselbe Zahl, sodass sich eine negative Zahl auf der Seite mit dem $x$ aufhebt.

$x-5=8 \quad|\color{red}{+5}$
$x-5\color{red}{+5}=8\color{red}{+5}$
$x=13$

Subtraktionsregel

Wir subtrahieren auf beiden Seiten dieselbe Zahl, sodass sich eine positive Zahl auf der Seite mit dem $x$ aufhebt.

$x+10=18 \quad|\color{red}{-10}$
$x+10\color{red}{-10}=18\color{red}{-10}$
$x=8$

Multiplikationsregel

Bei einem Faktor kleiner als 0 können wir mit dem Kehrwert multiplizieren.

$0,5\cdot x=9 \quad|\color{red}{\cdot2}$
$\color{red}{2\cdot}0,5\cdot x=9\color{red}{\cdot2}$
$x=18$

Divisionsregel

Üblicherweise dividiert man durch den Faktor vor dem $x$.

$5x=25 \quad|\color{red}{:5}$
$\frac{5x}{\color{red}{5}}=\frac{25}{\color{red}{5}}$
$x=5$

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Kooperation mit dem Kanal von Mister Mathe

Ziel beim Lösen linearer Gleichungen mit der Äquivalenzumformung ist die Gleichung so darzustellen, dass man die Lösung einfach ablesen kann.

Merke

Die Äquivalenzumformung ändert die Lösungsmenge nicht. Die Gleichung wird vereinfacht gesagt nur anders aufgeschrieben.

Dazu wendet man auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation an.

Addition derselben Zahl auf beiden Seiten
Subtraktion derselben Zahl auf beiden Seiten
Multiplikation derselben Zahl außer 0 auf beiden Seiten
Division derselben Zahl außer 0 auf beiden Seiten

Schließlich sollte die Variable (z. B. $x$) isoliert da stehen, also $x=...$.

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Beispiel „Variable verschieben“

Bei der Äquivalenzumformung kannst du nicht nur Zahlen sondern auch die Variable addieren bzw. subtrahieren:

$2x-1=x\quad|\color{red}{-x}$
$x-1=0\quad|+1$
$x=1$

Beispiel „Kombination von Regeln“

Um $x$ zu isolieren, also alleine auf eine Seite der Gleichung zu bekommen, ist manchmal auch eine Kombination mehrerer Regeln (z. B. Addition und Division) nötig.

$2x-5+x=3-x\quad|\color{red}{+x}$
$4x-5=3\quad|\color{red}{+5}$
$4x=8\quad|\color{red}{:4}$
$x=2$