Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen sind Gleichungen ersten Grades, d. h. wir haben mindestens eine Unbekannte, wobei die Unbekannten in keiner höheren Potenz vorkommen dürfen.

Beispiele

• $3x+15=0$
• $4x^1=3$
• $x+2y=14$

$x$ wird als Unbekannte oder Variable bezeichnet. Natürlich sind auch andere Buchstaben (z. B. $y$) möglich. Wir sehen, dass in allen Gleichungen die Variable(n) nur „hoch 1“ vorkommen. Beachte, dass $x^1=x$ und die Hochzahl deshalb normalerweise weggelassen wird.

Nicht-lineare Gleichungen

Gleichungen, die eine höhere Potenz, z. B. „hoch zwei“, enthalten, gelten nicht mehr als linear.

• Quadratische Gleichungen haben die Form $ax^2+bx+c=0$
• $\frac{8}x=4$ ist eine Bruchgleichung
• Exponentialgleichungen haben die Variable im Exponenten, z. B. $2^x=64$

Allgemeine Form

Lineare Gleichungen mit nur einer Unbekannten $\color{red}{x}$ besitzen die allgemeine Form

$a\color{red}x+b=0$

$a$ und $b$ sind Konstanten (reelle Zahlen) und in der allgemeinen Gleichung nur „Platzhalter“, um die Form zu beschreiben. Aufgrund von Umformung ist auch $ax=-b$ eine gültige lineare Gleichung.

Beispiel

Für $a=2$ und $b=-3$ ergibt sich also die Gleichung:

$2x-3=0$ bzw. $2x=3$

Lineare Gleichungen lösen

Die Lösung einer linearen Gleichungen ist jede Zahl, für die die Gleichung „stimmt“. Bei linearen Gleichungen mit nur einer Variablen gibt es immer eine eindeutige Lösung.

Beispiel

Wenn wir in die Gleichung $3\color{red}{x}-3=0$ für $x=1$ einsetzen ergibt sich:

$3\cdot\color{red}{1}-3=0$
$3-3=0$
$0=0$ w. A.

Die Gleichung ist für $x=1$ erfüllt, denn es ergibt sich eine wahre Aussage (w. A.).

Äquivalenzumformung

Um auf die Lösung für $x$ zu kommen, wird rechnerisch die Äquivalenzumformung angewendet. Dazu werden beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.

Beispiel

$x+5=8\quad|\color{blue}{-5}$
$x+5\color{blue}{-5}=8\color{blue}{-5}$
$x=3$

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Gleichungen können auch mehrere Variablen besitzen, zum Beispiel lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Diese haben unendlich viele gültige Lösungen.

$ax+by=c$

Die Lösung einer linearen Gleichungen mit zwei Variablen ist jedes Wertepaar $x|y$, das die Gleichung erfüllt.

Beispiel

Wenn wir in die Gleichung $2x+y=8$ für $x=2$ und $y=4$ einsetzen ergibt sich $2\cdot2+4=8$ und damit eine wahre Aussage.

Es gibt neben der Lösung $2|4$ jedoch noch unendlich weitere Lösungen, z. B. auch $3|2$ oder $1|6$.

Linearer Gleichungssysteme

Mehrere lineare Gleichungen mit mehreren Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen, werden auch zwei lineare Gleichungen benötigt.