Lösen linearer Gleichungen

Bei einer Variablen

Die Lösung von linearen Gleichungen mit einer Varbiablen ist jede Zahl $x$, die die Gleichung erfüllt.

Erfüllte Gleichung und wahre Aussagen

Eine Gleichung ist erfüllt, wenn beide Seiten gleich sind. Daher auch der Name „Gleichung“. Sehr einfache Beispiele für wahre Aussagen:

• $1=1$
• $12=12$
• $0,5=\frac12$

Beispiel

Gegeben ist die lineare Gleichung $\color{green}{x}-8=8$.

Zulässige Lösung

Wenn wir für $x=16$ einsetzen, ist die Gleichung erfüllt.

$\color{green}{16}-8=8$
$8=8$ w. A.

Es handelt sich also bei $x=16$ um die Lösung der linearen Gleichung, denn wir erhalten beim Einsetzen und Ausrechnen eine wahre Aussage (w. A.).

Unzulässige Lösung

Jede andere Zahl eingesetzt für $x$ ergibt eine falsche Aussage. Z. B. für $x=4$:

$\color{green}{4}-8=8$
$-4=8$ f. A.

Bei zwei Variablen

Die Lösung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen ist jedes Wertepaar $x|y$, das die Gleichung erfüllt.

Beispiel

Gegeben ist folgende lineare Gleichung mit zwei Variablen: $x+y=6$

Zulässige Lösung

Für $x=\color{green}{4}$ und $y=\color{red}{2}$ ist die Gleichung erfüllt:

$\color{green}{4}+\color{red}{2}=6$
$6=6$ w. A.

Das Wertepaar $4|2$ ist also eine Lösung.

Unendlich weitere Lösungen

Beachte, dass es für diese Gleichung mit zwei Variablen unendlich weitere Wertepaare $x|y$ gibt, die die Gleichung erfüllen, z. B. $4|2$ oder $5|1$

Lineares Gleichungssystem

Mehrere lineare Gleichungen mit mehreren Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen, werden auch zwei lineare Gleichungen benötigt.

Äquivalenzumformung

Rechnerisch kann man eine lineare Gleichung statt mit bloßem Raten auch mit Äquivalenzumformung lösen. Dazu werden beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.

Beispiel

$x+5=8\quad\quad\quad|\color{blue}{-5}$
$x+5\color{blue}{-5}=8\color{blue}{-5}$
$x=3$