Mathe Lineare Gleichungen Lösen linearer Gleichungen

Lösen linearer Gleichungen

Bei einer Variablen

Die Lösung von linearen Gleichungen mit einer Varbiablen ist jede Zahl $x$, die die Gleichung erfüllt.

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Tipp

Damit es sich um eine korrekte Lösung für eine lineare Gleichung handelt, muss die Gleichung beim Einsetzen des Wertes „stimmen“. Nutze dies zum Überprüfen deiner Lösung oder probiere Werte aus bis du eine Lösung findest.

Erfüllte Gleichung und wahre Aussagen

Eine Gleichung ist erfüllt, wenn beide Seiten gleich sind. Daher auch der Name „Gleichung“. Sehr einfache Beispiele für wahre Aussagen:

  • $1=1$
  • $12=12$
  • $0,5=\frac12$

Beispiel

Gegeben ist die lineare Gleichung $\color{green}{x}-8=8$.

Zulässige Lösung

Wenn wir für $x=16$ einsetzen, ist die Gleichung erfüllt.

$\color{green}{16}-8=8$
$8=8$ w. A.

Es handelt sich also bei $x=8$ um die Lösung der linearen Gleichung, denn wir erhalten beim Einsetzen und Ausrechnen eine wahre Aussage (w. A.).

Unzulässige Lösung

Jede andere Zahl eingesetzt für $x$ ergibt eine falsche Aussage. Z. B. für $x=4$:

$\color{green}{4}-8=8$
$-4=8$ f. A.

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Merke

Bei linearen Gleichungen mit nur einer Variablen gibt es immer eine eindeutige Lösung.

Bei zwei Variablen

Die Lösung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen ist jedes Wertepaar $x|y$, das die Gleichung erfüllt.

Beispiel

Gegeben ist folgende lineare Gleichung mit zwei Variablen: $x+y=6$

Zulässige Lösung

Für $x=\color{green}{4}$ und $y=\color{red}{2}$ ist die Gleichung erfüllt:

$\color{green}{4}+\color{red}{2}=6$
$6=6$ w. A.

Das Wertepaar $4|2$ ist also eine Lösung.

Unendlich weitere Lösungen

Beachte, dass es für diese Gleichung mit zwei Variablen unendlich weitere Wertepaare $x|y$ gibt, die die Gleichung erfüllen, z. B. $4|2$ oder $5|1$

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Merke

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat unendlich viele Lösungen. Für eine eindeutige Lösung werden dann mindestens zwei Gleichungen benötigt.

Lineares Gleichungssystem

Mehrere lineare Gleichungen mit mehreren Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen, werden auch zwei lineare Gleichungen benötigt.

Äquivalenzumformung

Rechnerisch kann man eine lineare Gleichung statt mit bloßem Raten auch mit Äquivalenzumformung lösen. Dazu werden beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.

Beispiel

$x+5=8\quad\quad\quad|\color{blue}{-5}$
$x+5\color{blue}{-5}=8\color{blue}{-5}$
$x=3$

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Kooperation mit dem Kanal von Mister Mathe

Ziel beim Lösen linearer Gleichungen mit der Äquivalenzumformung ist die Gleichung so darzustellen, dass man die Lösung einfach ablesen kann.

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Merke

Die Äquivalenzumformung ändert die Lösungsmenge nicht. Die Gleichung wird vereinfacht gesagt nur anders aufgeschrieben.

Dazu wendet man auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation an.

  • Addition derselben Zahl auf beiden Seiten
  • Subtraktion derselben Zahl auf beiden Seiten
  • Multiplikation derselben Zahl außer 0 auf beiden Seiten
  • Division derselben Zahl außer 0 auf beiden Seiten

Schließlich sollte die Variable (z. B. $x$) isoliert da stehen, also $x=...$.