Mathe ↠ Lineare Gleichungssysteme ↠ Additionsverfahren

Additionsverfahren

Eines der Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen ist das Additionsverfahren.

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen miteinander addiert oder subtrahiert, sodass man nur eine Gleichung mit einer Variablen erhält. Um dies zu erreichen muss eine (oder beide) der Gleichungen mit einem Wert multipliziert oder dividiert werden, damit die Koeffizienten einer Variablen in den Gleichungen Gegenzahlen sind.

Beispiel

  1. Gegeben sind zwei lineare Gleichungen:

    1. $2x-4y=-10$
    2. $5x+5y=20$

  2. Multiplizieren, damit die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen sind

    1. $2x-4y=-10$   $|\color{red}{\cdot5}$
    2. $5x+5y=20$   $|\color{red}{\cdot(-2)}$

    1. $\color{red}{10x}-20y=-50$
    2. $\color{red}{-10x}-10y=-40$

  3. Addition der beiden Gleichungen, sodass $x$ wegfällt

        I. $\color{red}{10x}-20y=-50$
    + II. $\color{red}{-10x}-10y=-40$

    III. $-30y=-90$

  4. Gleichung III lösen

    III. $-30y=-90$   $|:(-30)$
    $y=\color{blue}{3}$

  5. $y=\color{blue}{3}$ in I. oder II. einsetzen und lösen

    $2x-4\color{blue}{y}=-10$

    $2x-4\cdot\color{blue}{3}=-10$
    $2x-12=-10$   $|+12$
    $2x=2$   $|:2$
    $x=1$

  6. Lösungsmenge:

    $L=\{1|3\}$

Additionsverfahren V1: Lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen: V1: Umformen einer Gleichung

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Je nach Gleichungssystem müssen entweder eine oder beide Gleichungen umgeformt werden, damit das Additionsverfahren angewendet werden kann.

Wir multiplizieren oder dividieren eine Gleichung mit einer Zahl, sodass

  • eine Variable (z. B. $x$ oder $y$) in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten (Vorfaktor) hat und
  • diese Koeffizienten unterschiedliche Vorzeichen haben, damit sie beim Addieren der Gleichung wegfallen.

Beispiel

  1. $5x-5y=10$
  2. $4x+10y=36$

Die zweite Gleichung kann durch 2 geteilt werden und man erhält:

  1. $5x\color{red}{-5y}=10$
  2. $2x\color{red}{+5y}=18$

Bei diesem Gleichungssystem kann das Additionsverfahren angewendet werden. Beim Addieren erhält man die lineare Gleichung mit einer Variablen $7x=28$.

Das Ergebnis $x=4$ setzt man in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und erhält nach der Umformung $y=2$.

Additionsverfahren V2: Lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen: V2: Umformen beider Gleichungen

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Alternativ können auch beide Gleichungen mit unterschiedlichen Zahlen multipliziert oder dividiert werden.

i

Tipp

Multipliziere beide Gleichungen einfach mit dem Vorfaktor der gewählten Variable aus der anderen Gleichung. Achte darauf, dass die Variablen am Ende unterschiedliche Vorzeichen besitzen.

Beispiel

  1. $6x-2y=-32$
  2. $-10x-5y=-5$

Wir wählen die Variable $y$. Für unterschiedliche Vorzeichen müssen wir hier einmal mit einem negativen Faktor multiplizieren.

  1. $6x\color{green}{-2}y=-32\quad|\cdot(\color{blue}{-5})$
  2. $-10x\color{blue}{-5}y=-5\quad|\cdot\color{green}{2}$

Die Variable $x$ hat nun in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten mit anderem Vorzeichen.

  1. $-30x\color{red}{+10y}=160$
  2. $-20x\color{red}{-10y}=-10$

Bei diesem Gleichungssystem kann das Additionsverfahren angewendet werden. Beim Addieren erhält man die lineare Gleichung mit einer Variablen $-50x=150$.

Das Ergebnis $x=-3$ setzt man in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und erhält nach der Umformung $y=7$.