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Einsetzungsverfahren

Eines der Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen ist das Einsetzungsverfahren.

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer unbekannten Variablen umgestellt. Die umgestellte Gleichung wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Man erhält eine Gleichung mit nur einer Variablen, welche mithilfe von Äquivalenzumformung gelöst werden kann.

Beispiel

  1. Gegeben sind zwei lineare Gleichungen:

    1. $3x+y=4$
    2. $y+36=5x$

  2. Eine Gleichung wird nach einer Variablen umgestellt

    1. $3x+y=4$
    2. $y+36=5x$   $|-36$

    1. $3x+\color{red}{y}=4$
    2. $\color{red}{y}=\color{green}{5x-36}$

  3. Umgestellte Gleichung in die andere einsetzen und lösen

    II in I
    $3x+\color{green}{(5x-36)}=4$
    $3x+5x-36=4$
    $8x-36=4$   $|+36$
    $8x=40$   $|:8$
    $x=\color{blue}{5}$

  4. $x=\color{blue}{5}$ in I oder II einsetzen und lösen

    I. $3\color{blue}{x}+y=4$

    $3\cdot\color{blue}{5}+y=4$
    $15+y=4$   $|-15$
    $y=-11$

  5. Lösungsmenge:

    $L=\{5|-11\}$

Einsetzungsverfahren: Lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen

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Wir nutzen das Einsetzungsverfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS).

Zuerst wird eine der beiden linearen Gleichungen nach einer Variablen umgestellt. Der umgeformte Teil kann nun in der anderen Gleichung für diese Variable eingesetzt werden.

i

Tipp

Bei einer alleinstehenden Variable mit gleichem Koeffizienten wie in der anderen Gleichung kann man sich Zeit sparen, indem man direkt in die zweite Gleichung einsetzt.

Beispiel

  1. $\color{red}{2x}=12+4y$
  2. $\color{red}{2x}+6y=2$

Wir setzen nun den rechten Teil der Gleichung direkt in die zweite Gleichung ein.

$\color{red}{12+4y}+6y=2$

Durch Zusammenfassen erhält man

$12+10y=2$

Umgeformt ergibt sich für $y=-1$. Eingesetzt und umgeformt in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen erhält man für $x=4$.