Математика ↠ Относительное положение плоскостей ↠ Точка и плоскость (точка на плоскости)

Точка находится на плоскости?

Аналогично проверке того, лежит ли конкретная точка на прямой вы можете также проверить, лежит ли точка на плоскости.

i

Метод

Эта процедура варьируется в зависимости от уравнения плоскости:

  1. Вставьте вектор положения точки (P/V) или координаты (C).
  2. Решите уравнение (V/C) или систему уравнений (P)
  3. Проверьте, находятся ли они на плоскости

P - параметрическое уравнение
V - векторное уравнение плоскости
C - декартово уравнение

!

Запомните

Точка лежит на плоскости только в том случае, если уравнение или система уравнений имеет решение.

Например (параметрическая форма)

$P(2|1|1)$,
$\text{E: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  1. Вставьте $P$

    Вектор положения (вектор с координатами точки) P $P$ используется для $\vec{x}$ в $E$.

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  2. Составьте систему уравнений

    Теперь мы создаем систему уравнений и решаем ее. Каждая строка-это уравнение.
    1. $2=3+r+s$
    2. $1=r+5s$
    3. $1=2s$

    Из III. вы получаете $s=\frac12$, который используется в II..

    $1=r+5\cdot\frac12\quad|-\frac52$
    $r=-\frac32$

  3. Тест с I.

    $r$ и $s$ используется для выборки в неиспользованном уравнении (здесь: I.).

    $2=3+r+s$
    $2=3-\frac32+\frac12$
    $2=2$

    Так как здесь нет противоречия и это истинное утверждение, то точка лежит на плоскости.

Например (векторная форма)

$P(2|1|-1)$,
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

  1. Вставьте $P$

    Вектор положения (вектор с координатами точки) $P$ используется для $\vec{x}$ в $E$.

    $\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=0$

  2. Решите уравнение

    В первую очередь можно упростить уравнение.

    $\begin{pmatrix} 2-2 \\ 1-1 \\ -1-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

    $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

    Теперь добавьте скалярное произведение в левой части уравнения..

    $0\cdot2+0\cdot(-2)+(-2)\cdot4$ $=0$

    $-8\neq0$

    => Противоречие, точка находится не на плоскости

Например (декартова форма)

$P(2|1|1)$,
$\text{E: } 2x-2y+4z=6$

  1. Вставьте координаты $P$

    Индивидуальные координаты $P$ используются для x, y и z.

    $2\cdot2-2\cdot1+4\cdot1=6$

  2. Решите уравнение

    Уравнение решается очень легко.

    $2\cdot2-2\cdot1+4\cdot1=6$
    $6=6$

    => истинное утверждение, точка лежит на плоскости