Mathe Kreise und Kugeln Lage von Kugel und Ebene

Lage von Kugeln und Ebenen

Es gibt ebenfalls drei mögliche Lagebeziehungen für eine Kugel und eine Ebene im Raum.

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Merke

Eine Kugel und eine Ebene haben entweder keinen Punkt, einen Punkt oder einen Schnittkreis gemeinsam.

Um die Lage zu bestimmen, berechnet man den Abstand $d$ des Mittelpunktes der Kugel zur Ebene (siehe Abstand Punkt Ebene).

Der Abstand wird nun mit dem Radius $r$ verglichen.

$d>r$: keine gemeinsamen Punkte

$d=r$: gemeinsamer Berührpunkt


$d<r$: gemeinsamer Schnittkreis

Schnittkreis berechnen

Beim 3. Fall lässt sich der Mittelpunkt $M'$ des Schnittkreises berechnen. Dazu stellt man folgende Geradengleichung auf.

$g: \vec{x} = \vec{OM} + t \cdot \vec{n}$

$\vec{OM}$ ist der Mittelpunkt der Kugel und $\vec{n}$ ist der Normalenvektor der Ebene.

Der Schnittpunkt der Geraden $g$ und Ebene $E$ ist der Mittelpunkt des Kreises.

Zusätzlich kann auch der Radius $r'$ dieses Schnittkreises bestimmt werden.

$r'=\sqrt{r^2-d^2}$
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Vorgehensweise

  1. Abstand von $M$ zu $E$
  2. $r$ und $d$ überprüfen (3 Bedingungen, siehe oben)
  3. $M'$: Gerade $g$ aufstellen und Schnittpunkt mit $E$
  4. Radius $r'$ berechnen

Beispiel

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=16$

  1. Abstand von $M$ zu $E$

    Den Mittelpunkt der Kugel können wir aus der Kugelgleichung ablesen.

    $M(-1|2|1)$

    Wir berechnen den Abstand des Mittelpunktes $M$ zur Ebene $E$. Zuerst stellen wir die Hessesche Normalform (HNF) auf.

    $|\vec{n}|=\left|\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$ $=1$

    Da der Betrag 1 ist, handelt es sich bereits um einen Normaleneinheitsvektor. Die HNF liegt also bereits vor.

    $\left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

    Der Mittelpunkt muss nun zur Abstandsberechnung nur noch eingesetzt werden.

    $d=\left|\left(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$

    $d=\left|\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$

    $d=\left|0+0-2\right|$ $=|-2|$ $=2$

  2. Bedingung überprüfen

    Zuerst liest man noch den Radius aus der Kugelgleichung ab.

    $r=\sqrt{16}=4$

    Wir schauen nun welcher der drei Fälle vorliegt.

    $2<4$

    $d<r$

    Der Abstand ist kleiner als der Radius ($d<r$), die Ebene liegt in der Kugel und es gibt daher einen Schnittkreis.

  3. Gerade $g$ aufstellen und Schnittpunkt mit $E$

    Jetzt geht es darum, den neuen Mittelpunkt des Schnittkreises zu berechnen. Dazu wird wie oben beschrieben eine Geradengleichung aufgestellt.

    $g: \vec{x} = \vec{OM} + t \cdot \vec{n}$

    $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Der Schnittpunkt von der Geraden und der Ebene entspricht dem Mittelpunkt $M'$.

    Die Geradengleichung wird für $\vec{x}$ in die Ebene eingesetzt.

    $(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $+ t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $- \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$


    $\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ t-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

    $0+0+1\cdot(t-2)=0$
    $t-2=0\quad|+2$
    $t=2$

    Den Mittelpunkt $M'$ erhält man, indem das berechnete $t$ in die Geradengleichung eingesetzt wird.

    $\vec{OM'} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

    $M'(-1|2|3)$

  4. Radius $r'$ berechnen

    Schließlich noch den Radius des Schnittkreises berechnen.

    Dazu setzt man das zuvor berechnete $d$ und den abgelesenen Radius $r$ der Kugel in folgende Formel ein:

    $r'=\sqrt{r^2-d^2}$

    $r'=\sqrt{4^2-2^2}$ $=\sqrt{12}$ $\approx3,46$

    Der Schnittkreis hat den Mittelpunkt $M'(-1|2|3)$ und den Radius $r\approx3,46$