Lage von Kugeln und Ebenen
Es gibt ebenfalls drei mögliche Lagebeziehungen für eine Kugel und eine Ebene im Raum.
Merke
Um die Lage zu bestimmen, berechnet man den Abstand $d$ des Mittelpunktes der Kugel zur Ebene (siehe Abstand Punkt Ebene).
Der Abstand wird nun mit dem Radius $r$ verglichen.
$d>r$: keine gemeinsamen Punkte
$d=r$: gemeinsamer Berührpunkt
$d<r$: gemeinsamer Schnittkreis
Schnittkreis berechnen
Beim 3. Fall lässt sich der Mittelpunkt $M'$ des Schnittkreises berechnen. Dazu stellt man folgende Geradengleichung auf.
$\vec{OM}$ ist der Mittelpunkt der Kugel und $\vec{n}$ ist der Normalenvektor der Ebene.
Der Schnittpunkt der Geraden $g$ und Ebene $E$ ist der Mittelpunkt des Kreises.
Zusätzlich kann auch der Radius $r'$ dieses Schnittkreises bestimmt werden.
Vorgehensweise
- Abstand von $M$ zu $E$
- $r$ und $d$ überprüfen (3 Bedingungen, siehe oben)
- $M'$: Gerade $g$ aufstellen und Schnittpunkt mit $E$
- Radius $r'$ berechnen
Beispiel
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$
$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=16$
-
Abstand von $M$ zu $E$
Den Mittelpunkt der Kugel können wir aus der Kugelgleichung ablesen.
$M(-1|2|1)$
Wir berechnen den Abstand des Mittelpunktes $M$ zur Ebene $E$. Zuerst stellen wir die Hessesche Normalform (HNF) auf.
$|\vec{n}|=\left|\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$ $=1$
Da der Betrag 1 ist, handelt es sich bereits um einen Normaleneinheitsvektor. Die HNF liegt also bereits vor.
$\left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$
Der Mittelpunkt muss nun zur Abstandsberechnung nur noch eingesetzt werden.
$d=\left|\left(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$
$d=\left|\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$
$d=\left|0+0-2\right|$ $=|-2|$ $=2$
-
Bedingung überprüfen
Zuerst liest man noch den Radius aus der Kugelgleichung ab.
$r=\sqrt{16}=4$
Wir schauen nun welcher der drei Fälle vorliegt.
$2<4$
$d<r$
Der Abstand ist kleiner als der Radius ($d<r$), die Ebene liegt in der Kugel und es gibt daher einen Schnittkreis.
-
Gerade $g$ aufstellen und Schnittpunkt mit $E$
Jetzt geht es darum, den neuen Mittelpunkt des Schnittkreises zu berechnen. Dazu wird wie oben beschrieben eine Geradengleichung aufgestellt.
$g: \vec{x} = \vec{OM} + t \cdot \vec{n}$
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Der Schnittpunkt von der Geraden und der Ebene entspricht dem Mittelpunkt $M'$.
Die Geradengleichung wird für $\vec{x}$ in die Ebene eingesetzt.
$(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $+ t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $- \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$
$\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ t-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$
$0+0+1\cdot(t-2)=0$
$t-2=0\quad|+2$
$t=2$Den Mittelpunkt $M'$ erhält man, indem das berechnete $t$ in die Geradengleichung eingesetzt wird.
$\vec{OM'} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
$M'(-1|2|3)$
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Radius $r'$ berechnen
Schließlich noch den Radius des Schnittkreises berechnen.
Dazu setzt man das zuvor berechnete $d$ und den abgelesenen Radius $r$ der Kugel in folgende Formel ein:
$r'=\sqrt{r^2-d^2}$
$r'=\sqrt{4^2-2^2}$ $=\sqrt{12}$ $\approx3,46$
Der Schnittkreis hat den Mittelpunkt $M'(-1|2|3)$ und den Radius $r\approx3,46$