Относительное положение сфер и плоскостей

Существует также три возможных соотношения для сферы и плоскости в трехмерном пространстве.

Чтобы определить положение, вычислите расстояние $d$ от центра сферы до плоскости (смотрите расстояние точки плоскости).

Расстояние теперь сравнивается с радиусом $r$.

$d>r$: нет общих точек

$d=r$: общая точка

$d<r$: общий круг пересечения

Вычислите круг пересечения

В третьем случае можно вычислить центр $M'$ окружности пересечения. Для этого необходимо задать следующее уравнение прямой.

$\vec{OM}$ является центром сферы и $\vec{n}$ является нормальным вектором плоскости.

Пересечение прямой $g$ и плоскости $E$ - это центр круга.

Кроме того, радиус $r'$ из этого круга пересечения также можно определить.

Например

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=16$

1. Расстояние от $M$ до $E$

   Мы можем считать от центра сферы из уравнения сферы.

   $M(-1|2|1)$

   Рассчитаем расстояние от центра $M$ до плоскости $E$. Сначала мы устанавливаем Hормальную формулу Гессе (НФГ).

   $|\vec{n}|=\left|\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$ $=1$

   Так как абсолютное значение равно 1, то это уже единичный нормальный вектор. У нас уже есть НФГ.

   $\left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

   Теперь центральная точка должна быть вставлена только для расчета расстояния.

   $d=\left|\left(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$

   $d=\left|\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$

   $d=\left|0+0-2\right|$ $=|-2|$ $=2$

2. Проверьте состояние

   Сначала вы считываете радиус из уравнения сферы.

   $r=\sqrt{16}=4$

   Теперь мы рассмотрим, какой из трех случаев присутствует.

   $2<4$

   $d<r$

   Расстояние меньше радиуса ($d<r$), плоскость лежит в сфере и поэтому существует круг пересечения.

3. Настройте прямую $g$ и точки пересечения с $E$

   Теперь речь идет о вычислении нового центра круга пересечения. Уравнение прямой составляется так, как описано выше.

   $g: \vec{x} = \vec{OM} + t \cdot \vec{n}$

   $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

   Пересечение прямой и плоскости соответствует центру $M'$.

   Уравнение прямой вставляется для $\vec{x}$ в плоскость.

   $(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $+ t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $- \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

   
   

   $\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ t-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

   $0+0+1\cdot(t-2)=0$
   $t-2=0\quad|+2$
   $t=2$

   Центр $M'$ получается путем вставки вычисленного значения $t$ в уравнение прямой.

   $\vec{OM'} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

   $M'(-1|2|3)$

4. Вычислите радиус $r'$

   Наконец, вычислите радиус круга пересечения.

   Для этого вставьте предварительно вычисленный $d$ и считанный радиус $r$ сферы в следующую формулу::

   $r'=\sqrt{r^2-d^2}$

   $r'=\sqrt{4^2-2^2}$ $=\sqrt{12}$ $\approx3.46$

   Круг пересечения имеет центр $M'(-1|2|3)$ и радиус $r\approx3.46$