Математика Круги и сферы Относительное положение сфер и плоскостей

Относительное положение сфер и плоскостей

Существует также три возможных соотношения для сферы и плоскости в трехмерном пространстве.

!

Запомните

Сфера и плоскость либо не имеют общей точки, либо имеют одну общую точку, либо круг пересечения .

Чтобы определить положение, вычислите расстояние $d$ от центра сферы до плоскости (смотрите расстояние точки плоскости).

Расстояние теперь сравнивается с радиусом $r$.

$d>r$: нет общих точек

$d=r$: общая точка

common point of contact

$d<r$: общий круг пересечения

circle of a sphere
i

Информация

Круг, лежащий на сфере, называется кругом сферы. Круг на сфере, плоскость которой проходит через центр сферы, называется большим кругом; в противном случае это малый круг.

Вычислите круг пересечения

В третьем случае можно вычислить центр $M'$ окружности пересечения. Для этого необходимо задать следующее уравнение прямой.

$g: \vec{x} = \vec{OM} + t \cdot \vec{n}$

$\vec{OM}$ является центром сферы и $\vec{n}$ является нормальным вектором плоскости.

Пересечение прямой $g$ и плоскости $E$ - это центр круга.

Кроме того, радиус $r'$ из этого круга пересечения также можно определить.

$r'=\sqrt{r^2-d^2}$
i

Метод

  1. Расстояние от $M$ до $E$
  2. Проверьте $r$ и $d$ (3 условия, см. выше)
  3. $M'$: Составьте $g$ и точки пересечения с $E$
  4. Вычислите радиус $r'$

Например

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=16$

  1. Расстояние от $M$ до $E$

    Мы можем считать от центра сферы из уравнения сферы.

    $M(-1|2|1)$

    Рассчитаем расстояние от центра $M$ до плоскости $E$. Сначала мы устанавливаем Hормальную формулу Гессе (НФГ).

    $|\vec{n}|=\left|\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$ $=1$

    Так как абсолютное значение равно 1, то это уже единичный нормальный вектор. У нас уже есть НФГ.

    $\left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

    Теперь центральная точка должна быть вставлена только для расчета расстояния.

    $d=\left|\left(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$

    $d=\left|\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$

    $d=\left|0+0-2\right|$ $=|-2|$ $=2$

  2. Проверьте состояние

    Сначала вы считываете радиус из уравнения сферы.

    $r=\sqrt{16}=4$

    Теперь мы рассмотрим, какой из трех случаев присутствует.

    $2<4$

    $d<r$

    Расстояние меньше радиуса ($d<r$), плоскость лежит в сфере и поэтому существует круг пересечения.

  3. Настройте прямую $g$ и точки пересечения с $E$

    Теперь речь идет о вычислении нового центра круга пересечения. Уравнение прямой составляется так, как описано выше.

    $g: \vec{x} = \vec{OM} + t \cdot \vec{n}$

    $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Пересечение прямой и плоскости соответствует центру $M'$.

    Уравнение прямой вставляется для $\vec{x}$ в плоскость.

    $(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $+ t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $- \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$


    $\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ t-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

    $0+0+1\cdot(t-2)=0$
    $t-2=0\quad|+2$
    $t=2$

    Центр $M'$ получается путем вставки вычисленного значения $t$ в уравнение прямой.

    $\vec{OM'} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

    $M'(-1|2|3)$

  4. Вычислите радиус $r'$

    Наконец, вычислите радиус круга пересечения.

    Для этого вставьте предварительно вычисленный $d$ и считанный радиус $r$ сферы в следующую формулу::

    $r'=\sqrt{r^2-d^2}$

    $r'=\sqrt{4^2-2^2}$ $=\sqrt{12}$ $\approx3.46$

    Круг пересечения имеет центр $M'(-1|2|3)$ и радиус $r\approx3.46$