Нормальная формула Гессе
Особым видом нормального уравнения, является нормальная формула Гессе:
Запомните
$|\vec{n_0}|=1$
Для единичного нормального вектора, нормальный вектор делится на его величину.
Нормальная формула Гессе получается путем деления векторного уравнения плоскости на величину нормального вектора.
Например
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$
-
Абсолютное значение нормального вектора
$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$
$|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$
-
Единичный нормальный вектор
$\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$
$\vec{n_0}= \frac{ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{24}}$ $=\frac{1}{\sqrt{24}}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$
-
Нормальная формула Гессе
$\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n_0}=0$
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}=0$
В качестве альтернативы также возможна следующая запись:
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{24}}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$