Расстояние от точки до прямой
Вычисление расстояния от точки $P$ до прямой несколько сложнее.
Здесь нам нужна вспомогательная плоскость $H$ ортогональная (перпендикулярная) прямой $g$ содержащая в себе точку $P$.
Точка пересечения прямой со вспомогательной плоскостью называется, перпендикулярной точкой $F$.
Расстояние от перпендикулярной точки $F$ до точки $P$ соответствует расстоянию от линии до точки и может быть легко вычислено.
Метод
- Составьте нормальное уравнение вспомогательной плоскости H (с P и вектором направления g)
- Вычислите перпендикулярную точку F (пересечение прямой g и плоскости H)
- $d$ соответствует расстоянию от P до F, т.е. $|\vec{PF}|$ (Длина вектора)
Например
$P(-1|0|3)$
$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
-
Настройте вспомогательную плоскость
Вспомогательный уровень должен содержать точку $P$. Так что это наша точка опоры. Мы принимаем вектор направления прямой за нормальный вектор $\vec{n}$, так как линия и плоскость должны быть ортогональны друг другу.
$\text{H: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$
$\text{H: } (\vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$
-
Вычислите перпендикулярную точку
Перпендикулярная точка - это пересечение прямой g и вспомогательной плоскости H. Для вычисления пересечения используется уравнение прямой для $\vec{x}$ на плоскости.
$\left(\color{red}{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right)$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$
$\begin{pmatrix} 2+r \\ 2+r \\ -2 \end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$
Вычислите скалярное произведение
$(2+r)\cdot1+(2+r)\cdot1$ $+(-2)\cdot0=0$
$4+2r=0\quad|-4$
$2r=-4\quad|:2$
$r=-2$Вставьте $r$ в $g$, чтобы получить перпендикулярную точку $F$
$\vec{OF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \color{red}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2-2 \\ 1-0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
$F(-1|0|1)$
-
Вычислите расстояние между двумя точками
Расстояние от перпендикулярной точки до точки $P$ также является расстоянием от прямой до этой точки.
Расстояние между двумя точками можно легко вычислить с помощью векторов.
$d=|\vec{PF}|$ $=\left| \begin{pmatrix} -1-(-1) \\ 0-0 \\ 1-3 \end{pmatrix}\right|$ $=\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\right|$ $=\sqrt{(-2)^2}$ $=2$
Расстояние от прямой $g$ до точки $P$ составляет 2 LU.