Расстояние от точки до прямой

Вычисление расстояния от точки $P$ до прямой несколько сложнее.

Здесь нам нужна вспомогательная плоскость $H$ ортогональная (перпендикулярная) прямой $g$ содержащая в себе точку $P$.

Точка пересечения прямой со вспомогательной плоскостью называется, перпендикулярной точкой $F$.

Расстояние от перпендикулярной точки $F$ до точки $P$ соответствует расстоянию от линии до точки и может быть легко вычислено.

i

Метод

  1. Составьте нормальное уравнение вспомогательной плоскости H (с P и вектором направления g)

  2. Вычислите перпендикулярную точку F (пересечение прямой g и плоскости H)

  3. $d$ соответствует расстоянию от P до F, т.е. $|\vec{PF}|$ (Длина вектора)

Например

$P(-1|0|3)$

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

  1. Настройте вспомогательную плоскость

    Вспомогательный уровень должен содержать точку $P$. Так что это наша точка опоры. Мы принимаем вектор направления прямой за нормальный вектор $\vec{n}$, так как линия и плоскость должны быть ортогональны друг другу.

    $\text{H: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$

    $\text{H: } (\vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

  2. Вычислите перпендикулярную точку

    Перпендикулярная точка - это пересечение прямой g и вспомогательной плоскости H. Для вычисления пересечения используется уравнение прямой для $\vec{x}$ на плоскости.

    $\left(\color{red}{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right)$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

    $\begin{pmatrix} 2+r \\ 2+r \\ -2 \end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

    $(2+r)\cdot1+(2+r)\cdot1$ $+(-2)\cdot0=0$
    $4+2r=0\quad|-4$
    $2r=-4\quad|:2$
    $r=-2$

    Вставьте $r$ в $g$, чтобы получить перпендикулярную точку $F$

    $\vec{OF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \color{red}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2-2 \\ 1-0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$


    $F(-1|0|1)$

  3. Вычислите расстояние между двумя точками

    Расстояние от перпендикулярной точки до точки $P$ также является расстоянием от прямой до этой точки.

    Расстояние между двумя точками можно легко вычислить с помощью векторов.

    $d=|\vec{PF}|$ $=\left| \begin{pmatrix} -1-(-1) \\ 0-0 \\ 1-3 \end{pmatrix}\right|$ $=\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\right|$ $=\sqrt{(-2)^2}$ $=2$

    Расстояние от прямой $g$ до точки $P$ составляет 2 LU.