Расстояние между непараллельными и непересекающимися прямыми
В отличие от расстояния между параллельными прямыми , расстояние между непараллельными и непересекающимися прямыми, можно проследить до самого начала нормальной формулы Гессе.
Даны две непересекающиеся и непараллельные прямые:
Мы вычисляем ортогональный нормальный вектор, из двух векторов направления..
Это нормализуется (единичный нормальный вектор) и вставляется в нормальную формулу Гессе, вместе с двумя опорными векторами $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Затем получаем расстояние $d$ .
Метод
- Вычислите нормальный вектор
- Вариант 1: используйте скалярное произведение
- Вариант 2: исполльзуйте перекрестное произведение
- Вектор нормальной формы
- Вставьте точки в нормальную формулу Гессе
Например
Даны две непараллельные и непересекающиемя прямые
$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$
-
Вычислите нормальный вектор
Вариант 1
Поскольку оба вектора направления перпендикулярны нормальному вектору $\vec{n}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, скалярное произведение должено равняться нулю.
- $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = 0$
- $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}} = 0$
Теперь можно вычислить скалярное произведение.
- $1x+1y=0$
- $1x+5y+2z= 0$
II.-I.
$4y+2z=0$
Выберите любое значение $z$ , например $z=4$
$4y+8=0\quad|-8$
$4y=-8\quad|:4$
$y=-2$Вычислите $x$ с I. (вставьте $y$)
$x+y=0$
$x-2=0\quad|+2$
$x=2$$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$
Вариант 2
В варианте 2, вместо этого формируется только поперечное произведение двух векторов.
$\vec{n}$ $=\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} \times \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}}$ $=\begin{pmatrix} 1\cdot2 - 0\cdot5 \\ 0\cdot1 - 1\cdot2 \\ 1\cdot5 - 1\cdot1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ -
Единичный нормальный вектор
Нормальный вектор нормализуется путем деления на величину вектора.
$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$
$|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$
$\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$
-
Вставьте точки
$d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $\approx3.67$