Mathe Abstandsberechnungen Punkt und Gerade

Abstand von Punkt und Gerade

Etwas schwieriger ist die Abstandsberechnung von einem Punkt $P$ zu einer Geraden.

Hier benötigen wir eine Hilfsebene $H$, die orthogonal (rechtwinklig) zur Gerade $g$ ist und den Punkt $P$ enthält.

Den Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene bezeichnet man als Lotfußpunkt $F$.

Der Abstand von Lotfußpunkt $F$ zum Punkt $P$ entspricht dem Abstand der Geraden zu dem Punkt und kann einfach berechnet werden.

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Vorgehensweise

  1. Normalengleichung der Hilfsebene H (mit P und Richtungsvektor von g) aufstellen

  2. Lotfußpunkt F berechnen (Schnittpunkt von Gerade g und Ebene H)

  3. $d$ entspricht Abstand von P zu F, also $|\vec{PF}|$ (Länge des Vektors)

Beispiel

$P(-1|0|3)$

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

  1. Hilfsebene aufstellen

    Die Hilfsebene soll den Punkt $P$ enthalten. Das ist deshalb unser Stützpunkt. Als Normalenvektor $\vec{n}$ nehmen wir den Richtungsvektor der Geraden, da die Gerade und Ebene orthogonal zueinander sein sollen.

    $\text{H: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$

    $\text{H: } (\vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

  2. Lotfußpunkt berechnen

    Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden $g$ und der Hilfsebene $H$. Zur Berechnung des Schnittpunkts wird die Geradengleichung für $\vec{x}$ in die Ebene eingesetzt.

    $\left(\color{red}{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right)$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

    $\begin{pmatrix} 2+r \\ 2+r \\ -2 \end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

    Skalarprodukt berechnen

    $(2+r)\cdot1+(2+r)\cdot1$ $+(-2)\cdot0=0$
    $4+2r=0\quad|-4$
    $2r=-4\quad|:2$
    $r=-2$

    $r$ in $g$ einsetzen, um Lotfußpunkt $F$ zu erhalten

    $\vec{OF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \color{red}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2-2 \\ 1-0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$


    $F(-1|0|1)$

  3. Abstand der beiden Punkte berechnen

    Der Abstand des Lotfußpunktes zum Punkt $P$ ist auch der Abstand der Geraden zu diesem Punkt.

    Der Abstand zwischen zwei Punkten lässt sich einfach mit Vektoren berechnen.

    $d=|\vec{PF}|$ $=\left| \begin{pmatrix} -1-(-1) \\ 0-0 \\ 1-3 \end{pmatrix}\right|$ $=\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\right|$ $=\sqrt{(-2)^2}$ $=2$

    Der Abstand der Geraden $g$ zum Punkt $P$ beträgt 2 LE.



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