Mathe Abstandsberechnungen Parallele Ebene

Abstand einer Geraden/Ebene zu einer parallelen Ebene

Als Abstand bezeichnet man die Länge der kürzesten Verbindung.

Wenn eine Gerade und Ebene parallel zueinander sind, dann haben sie einen konstanten Abstand.

Ebenso verhält es sich mit zwei parallelen Ebenen.

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Info

Wenn die Gerade oder Ebene zur zweiten Ebene nicht parallel wäre, dann würden sie sich entweder schneiden oder ineinander liegen. In beiden Fällen wäre laut Definition der Abstand 0.

Wie man im Bild oben erkennt, ist der Abstand nichts anderes als der Abstand eines Punktes zur Ebene. Da beide parallel sind, kann ein beliebiger Punkt gewählt werden und in die HNF der Ebene eingesetzt werden.

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Vorgehensweise

  1. Parallelität überprüfen
  2. Punkt (Stützpunkt) auswählen
  3. Hessesche Normalform aufstellen
  4. Punkt einsetzen

Beispiel (Gerade und Ebene)

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

  1. Parallelität überprüfen

    Da der Abstand nur bei Parallelität berechnet werden kann, muss man überprüfen, ob die Gerade und Ebene parallel sind.

    Um es möglichst einfach zu halten, wird geschaut ob der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden othogonal zueinander sind. Das Skalarprodukt muss null sein.

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=2-2+0$ $=0$

  2. Punkt auswählen

    Man kann jeden beliebigen Punkt der Gerade nehmen. Da man den Stützpunkt jedoch einfach ablesen kann, bietet sich dieser an.

    $P(1|2|1)$

  3. Hessesche Normalform aufstellen

    $|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$

    $\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$

    $\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}=0$

  4. Punkt einsetzen

    $\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

    $d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=|-\frac4{\sqrt{24}}|$ $\approx0,82$

Beispiel (Ebene und Ebene)

$\text{F: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}=0$

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

  1. Parallelität überprüfen

    Da der Abstand nur bei Parallelität berechnet werden kann, muss man überprüfen, ob die Ebenen parallel sind.

    Dazu schauen wir, ob die Normalenvektoren parallel sind. Anders als bei der Gerade wird also nicht auf Rechtwinkligkeit überprüft.

    $\vec{n_1}=r\cdot\vec{n_2}$

    $\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow r=-2$

    Es existiert ein $r$: Die Vektoren sind Vielfache voneinander und daher parallel.

  2. Punkt auswählen

    Man kann jeden beliebigen Punkt der Ebene nehmen. Da man den Stützpunkt jedoch einfach ablesen kann, bietet sich dieser an.

    $P(1|2|1)$

  3. Hessesche Normalform aufstellen

    $|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$

    $\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$

    $\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}=0$

  4. Punkt einsetzen

    $\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

    $d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=|-\frac4{\sqrt{24}}|$ $\approx0,82$