Mathe Abstandsberechnungen Punkt und Ebene

Abstand von Punkt und Ebene

Die Hessesche Normalform kann genutzt werden, um den Abstand eines Punktes $P$ zu einer Ebene $E$ zu berechnen.

Dazu setzen wir den Ortsvektor $\vec{p}$ des Punktes in die Hessesche Normalform ein. Man erhält dann den Abstand $d$.

$d = |(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n_0}|$

Da man bei Punkten unter der Ebene negative Werte erhält, es aber keinen negativen Abstand gibt, benötigt man den Betrag.

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Tipp

Wenn für $d=0$ rauskommt, liegt der Punkt in der Ebene (Punktprobe).

Für den Abstand eines Punktes zur Ebene stellt man also zuerst die HNF auf und setzt dann den Punkt ein.

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Vorgehensweise

  1. Hessesche Normalform aufstellen
  2. Punkt einsetzen

Beispiel

$A(1|2|1)$

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

  1. Hessesche Normalform aufstellen

    $|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$

    $\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$

    $\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}=0$

  2. Punkt einsetzen

    $\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

    $d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=|-\frac4{\sqrt{24}}|$ $\approx0,82$



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