Математика ↠ Круги и сферы ↠ Окружность на плоскости

Окружности на плоскости (2D)

Имея центр и радиус, можно установить уравнение окружности на плоскости.

Декартово уравнение окружности имеет вид:

$(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$
  • $r$ - радиус
  • $M(x_M|y_M)$ - центр
!

Запомни

Окружность на плоскости - это набор всех точек $P$, находящихся на одном расстоянии $r$ (радиус) от центра $M$.

Выведение формулы

Длина вектора из $M$ в $P$ cоответствует радиусу.

$|\vec{MP}|=r$

Мы также можем представить этот вектор с помощью векторов $\vec{x}$ и $\vec{x_M}$ (см. изображение сверху).

$|\vec{x}-\vec{x_M}|=r$

Если мы возведем в квадрат все уравнение, то абсолютное значение исключается (правило вычисления векторов). Мы получаем векторное уравнение для окружности на плоскости.

$(\vec{x}-\vec{x_M})^2=r^2$

$\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_M \\ y_M \end{pmatrix}\right)^2=r^2$

Верхнее координатное уравнение получается путем умножения (скалярное произведение).


Определите радиус и центр

Радиус и центр могут быть считаны из упомянутого уравнения окружности.

Есть и другие квадратные уравнения, которые описывают окружность.

!

Запомни

Радиус и центр могут быть определены только с помощью векторного / декартова уравнения. Чтобы изменить его, воспользуйтесь дополнением до полного квадрата.

Пример

Найдите центр и радиус окружности $k$.

$k: x^2-4x+y^2+2y=20$

  1. Дополнение до полного квадрата

    $x^2-4x+y^2+2y=20$

    $x^2-4x\color{red}{+2^2-2^2}$ $+y^2+2y\color{blue}{+1^2-1^2}=20$

    $(x-2)^2-2^2$ $+(y+1)^2-1^2=20$

    $(x-2)^2+(y+1)^2-5=20\,\,|+5$

    $(x-2)^2+(y+1)^2=25$

  2. Считывание центра и радиуса

    $k: (x-2)^2+(y+1)^2=25$

    $k: (x-2)^2+(y+1)^2=5^2$

    Внимание: Квадратный корень необходимо исключить для радиуса! Центральная точка имеет противоположный знак в уравнении!

    $M(2|-1)$ и $r=5$